Пискунов приблизительно с360

Основные типы уравнений математической физики

Основными уравнениями математической физики называют (для случая функций двух независимых переменных) следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.

I. Волновое уравнение:

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа.

II. Уравнение Лапласа:

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т.д. Это уравнение является простейшим уравнением эллиптического типа.

(решить что делать с циферками ->) В уравнениях 1, 2 искомая функция зависит от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения и для функций с большим числом переменных. Так, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах

В математической, физике под струной понимают гибкую упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси Ох от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках х=0 и x= l. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе, или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения —говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u (х, t), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент t (рис. номер).

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (х, u), то будем предполагать, что длина элемента струны M₁M₂ равняется ее проекции на ось Ох, т. е. *) M₁M₂=x₂-x₁.

Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.

Рассмотрим элемент струны ММ' (рис.).

На концах этого элемента по касательным к струне действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ох (Рис.), углы φ и φ+Δφ. Тогда проекция на ось Оu сил, действующих на элемент ММ', будет равна Т sin(φ+Δφ)—Т sinφ. Так как угол φ мал, то можно положить tg φ ≈ sin φ, и мы будем иметь Т sin(φ+Δφ)— T sinφ ≈

≈ T tg (φ+Δφ) – T tg φ = T =

= T

0<θ <1

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему

в квадратных скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ — линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет ρ Δ x. Ускорение элемента равно . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь

Сокращая на Δ x и обозначая Т/ρ = а², получаем уравнение движения

(это уравнение 1)

Это и есть волновое уравнение—уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция u (х, t) должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (х = 0 и х= l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при х=0 и х= l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства

u (0, t) = 0, (2')

u (l, t) = 0. (2'')

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x). Таким образом, должно быть

u(x, 0) = u | _t₌₀ =f(x). (3')

Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x). Таким образом, должно быть

(3'')

Условия (3') и (3'') начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть f(x) 0 или φ(x) 0.

Если же f(x) 0 и φ(x) 0, то струна будет находиться в покое, следовательно, u (х, t) .

Как указывалось выше, к уравнению 1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Покажем это. Электрический ток в проводе характеризуется величиной i (x, t) и напряжением υ (x, t), которые зависят от координаты х точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода :, можем написать, что падение напряжения на элементе равно υ (x, t) — υ (x+ , t) ≈ . Это падение напряжения складывается из омического, равного iR , и индуктивного, равного

Итак,

(4)

где R и L—сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию . Сокращая на , получаем уравнение

(5)

Далее, разность тока, выходящего из элемента , и тока, входящего в него за время , будет

Она расходуется на зарядку элемента, равную , и на утечку через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную A х t (здесь А — коэффициент утечки).

Приравнивая эти выражения и сокращая на ∆х∆t, получим уравнение

(6)

Уравнения 5) и 6) принято называть телеграфными уравнениями.

Из системы уравнений 5) и 6) можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию i (x, t), и уравнение, содержащее только искомую функцию (x, t). Продифференцируем члены уравнения 6 по х; члены уравнения 5) продифференцируем по t и умножим их на С. Производя вычитание, получим