Http://physicsleti.narod.ru/fiz/html/point_1_7.html

Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля

Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля –  напряжённостью и его энергетической характеристикой – потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q E dl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = -d W_п = -q d_φ, где d_φ – изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = -d_φ или в декартовой системе координат

 

E_x dx + E_y dy + E_z dz = -d_φ , (1)

где E_x, E_y, E_z - проекции вектора напряженности на оси системы координат.

Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем

откуда

Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j, т. е.

 

E = -grad φ= -Ñφ.

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q (рис.).

рис.

Потенциал поля в точке М, положение которой определяется радиус-вектором r, равен φ = q / 4 . Направление радиус-вектора r совпадает с направлением вектора напряженности E, а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. Проекция градиента на направление радиус-вектора t, перпендикулярного вектору r, равна

т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной (φ = const).