Для временного ряда далеко не всегда удается подобрать адекватную модель, для которой ряд возмущений будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа. До сих пор мы рассматривали модели, в которых в качестве регрессора выступала переменная «t» - время. В эконометрике достаточно широкое распространение получили и другие регрессионные модели, в которых регрессорами выступают лаговые переменные, т.е. переменные, влияние которых в эконометрической модели характеризуется некоторым запаздыванием. Еще одним отличием рассматриваемых регрессионных моделей является то, что представленные в них объясняющие переменные являются величинами случайными.
Авторегрессионная модель р-го порядка имеет вид:
, где - некоторые константы.
Она описывает изучаемый процесс в момент времени t в зависимости от его значений в предыдущие моменты t-1, t-2, …,t-p.
Если исследуемый процесс в момент t определяется его значениями только в предшествующий период t-1, то рассматривают авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель AR(1) – марковский случайный процесс):
|
|
Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней (не путать с аналогичным термином при сглаживании временных рядов), в которой моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (ошибок) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней q-го порядка или модель MA(q) имеет вид:
В эконометрике используются также комбинированные модели временных рядов AR и MA – авторегрессионная модель скользящей средней порядков p и q соответственно (или ARMA(p,q)) имеет вид: .
Использование соответствующих авторегрессионных моделей для прогнозирования экономических показателей, т.е. прогноз на базе рассмотренных моделей, может оказаться весьма эффективным (как правило, в краткосрочной перспективе).
Модель авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего порядка ARIMA(p, q,r)
Обозначим:
(1)
(2)
(3)
Случайная последовательность называется рядом ARIMA(p, q,r), если ряд является (стационарным) рядом ARMA(p, q), т.е. ряд является стационарным (в слабом смысле) и имеет место равенство:
(4)
где независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией :
, , . (5)
Оценивание параметров для модели ARIMA(p, q,r) сводится к оценке параметров модели ARMA(p, q) для ряда ,
|
|
Прогнозирование осуществляется в два этапа.
На первом этапе находятся прогнозные значения ряда в рамках модели ARMA(p, q).
Затем находятся прогнозные значения , для рекуррентным образом (начиная с ) по следующим принципам.
Сначала находится значение по формуле:
(6)
Затем рекуррентным образом находятся значения при по формуле:
(7)
После того, как уже найдены значения , , находится значение по формуле:
(8)
Затем рекуррентным образом находятся значения при по формуле:
(9)
Порядок модели ARIMA(p, q,r) – это наименьшее значение , при котором ряд является стационарным.
Для исследования ряда на стационарность используется тест Дики-Фуллера.