Разложить функцию в ряд Фурье на заданном отрезке (период Т)

РЕШЕНИЕ:

При решении многих задач физики и математики необходимо осуществить разложение периодической функции с периодом 2π в ряд по тригонометрическим функциям:

Ряд такого вида называется рядом Фурье, а разложение функции в ряд Фурье составляет задачу гармонического анализа. Важным для понимания данного разложения представляет вопрос: когда ряд Фурье сходится в обычном смысле, т.е. поточечно, и каким образом он описывает функцию f (x)? На так поставленный вопрос дает ответ теорема Дирихле:

Пусть f (x) удовлетворяет в (−π; π) так называемым условиям Дирихле:

a) интервал (−π; π) можно разбить на конечное число интервалов, в которых f (x) непрерывна и монотонна;

b) если x₀ является точкой разрыва функции f (x), то существуют односторонние пределы f (x₀ + 0) и f (x₀ − 0). Тогда ряд Фурье функции f (x) сходится и имеет место равенство

Если раскладываемая в ряд Фурье функция имеет период , то ряд Фурье имеет вид

при этом коэффициенты вычисляются по формулам:

Если раскладываемая в ряд Фурье функция имеет период , то ряд Фурье имеет вид

при этом коэффициенты вычисляются по формулам:

В данном случае имеем:

Заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, поэтому разложима в ряд Фурье.

Заданная функция − нечетная и (*)

При этом ряд Фурье функции f (x) имеет вид:

(**)

По формулам (*) и (**) при имеем:

где

Находим:

Положим тогда

Применяя формулу интегрирования по частям, находим:

Таким образом, разложение заданной функции в ряд Фурье имеет вид:

Начертить область на комплексной плоскости по заданным условиям

, , , .

РЕШЕНИЕ:

● заданная область − это внешняя область окружности радиуса с центром в точке (причем граница окружности не принадлежит заданной области), ограниченная в первом и четвертом квадрантом прямыми: