Область сходимости степенного ряда

1 2 3

СОДЕРЖАНИЕ

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ_ 2

1. Найти область сходимости степенного ряда_ 3

2. Разложить функцию в ряд Фурье на заданном отрезке (период Т) 6

3. Начертить область на комплексной плоскости по заданным условиям 9

4. Вычислить интеграл по дуге от точки до точки __ 11

5. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом_ 13

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

Дистанционное обучение

Дисциплина «Математический анализ». Часть 3

Дополнительные главы. Специальные главы

Вариант № 6

1. Найти область сходимости степенного ряда

2. Разложить функцию в ряд Фурье на данном отрезке (период Т)

3. Начертить область на комплексной плоскости по данным условиям:

, , , .

4. Вычислить интеграл по дуге от точки до точки

, : , ,

5. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

Найти область сходимости степенного ряда

РЕШЕНИЕ:

Для определения области сходимости функционального ряда используем признак Даламбера числового ряда, при этом предел вычисляется от выражений функционального ряда взятых по модулю:

Исследуем ряд на концах найденного интервала (подставляем значения концов интервала в функциональный ряд).

При x = − 3 получаем ряд:

Сходимость знакочередующегося ряда определяется по признаку Лейбница:

1) Выполняется. Действительно, имеем[1]:

Причем выше показано, что

2) Признаки Лейбница сходимости знакочередующегося ряда выполняются, следовательно, ряд сходится.

При x = 3 получаем ряд:

Так как функция при является непрерывной, положительной и монотонно убывающей (см. выше график функции), то для исследования исходного ряда на абсолютную сходимость воспользуемся интегральным признаком Коши: