2020-08-05
272
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ДЛЯ
РЕШЕНИЯ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО ЗАДАНИЯ
Законы алгебры логики
Свойства функций И, ИЛИ, НЕ называются законами алгебры логики. Приведем некоторые из них, которые потребуются в дальнейшем:
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Функционально полная система функций называется минимальной, если удаление из нее хотя бы одной функции делает систему неполной. Базис {И, ИЛИ, НЕ} не является минимальным, так как из него можно исключить либо функцию И, либо функцию ИЛИ с сохранением полноты. Это доказывается тем, что функция И(ИЛИ) может быть выражена через функции ИЛИ(И) и НЕ с помощью формул де Моргана (15) и (16). Взяв отрицание над левой и правой частями формул (15) и (16) и учитывая формулу (12) – закон двойного отрицания, получим:
|
|
|
(18)
(19)
Таким образом, системы {И, НЕ} и {ИЛИ, НЕ} образуют минимальные базисы. Формулы (18) и (19) позволяют переходить от одной формы записи к другой.
К законам алгебры логики относятся также формулы с константами:
(20)
(21)
Реализация функций алгебры логики
Понятие базиса играет существенную роль при реализации ФАЛ на логических элементах. Логическим элементом называется элемент, реализующий некоторую логическую функцию. На рис. 3, а, б, в приведены соответственно обозначения логических элементов, реализующих функции И, ИЛИ, НЕ.
а) б) в)
Рис. 3. Логические элементы И, ИЛИ, НЕ
Они могут быть построены на транзисторах, интегральных микросхемах, магнитных кольцах и других элементах. На рис. 4, а, б, в показан пример реализации функций И, ИЛИ, НЕ на релейно-контактных элементах.
а) б) в)
Рис. 4. Реализация функций И, ИЛИ, НЕ на релейно-контактных элементах
Построение схем в базисе {И, ИЛИ, НЕ} производится по следующим правилам.
1. Для реализации каждой логической операции используется соответствующий логический элемент.
2. Порядок выполнения операций: НЕ, И, ИЛИ.
3. Выражения в скобках и под знаком отрицания реализуются в первую очередь.
На рис. 5 приведен пример построения схемы для функции 
в базисе {И, ИЛИ, НЕ}.
|
|
|
Рис. 5. Реализация ФАЛ в базисе {И, ИЛИ, НЕ}
Построение релейно-контактных схем производится по следующим правилам.
1. Порядок выполнения операций: НЕ, И, ИЛИ.
2. Конъюнкция реализуется за счет последовательного соединения контактов (рис. 4, а), дизъюнкция – за счет параллельного (рис. 4, б).
3. Переменной без отрицания соответствует фронтовой контакт (рис. 4, а, б), переменной с отрицанием – тыловой (рис. 4, в).
4. Выражения в скобках и под знаком отрицания реализуются в первую очередь.
5. Если в формуле есть знак отрицания над выражением, то она преобразуется с помощью формул де Моргана (15), (16) до тех пор, пока знак отрицания не останется только над переменными.
Альтернативой является применение дополнительного реле.
На рис. 6 приведен пример построения схемы по функции с использованием дополнительного реле.
Рис. 6. Реализация схемы с использованием дополнительного реле
Для реализации ФАЛ, заданной логической формулой, необходимо иметь столько типов логических элементов, сколько функций содержится в базисе, в котором записана ФАЛ.
Реализация ФАЛ возможна также на базе одного логического элемента. Такими элементами являются:
1) элемент И-НЕ (рис. 7, а), реализующий функцию Шеффера;
2) элемент ИЛИ-НЕ (рис. 7, б), реализующий функцию Вебба.
а) б)
Рис. 7. Реализация функций Шеффера и Вебба на логических элементах
Каждый из этих элементов составляет функционально полную систему алгебры логики. На рис. 8 показана реализация основных ФАЛ на элементе ИЛИ-НЕ. На рис. 9 показана реализация основных ФАЛ на элементе И-НЕ.
а) б)
|
Рис. 8. Реализация функций И, ИЛИ, НЕ с использованием элемента Вебба
а) б)
|
Рис. 9. Реализация функций И, ИЛИ, НЕ с использованием элемента Шеффера
Построение схем в базисах {И-НЕ} и {ИЛИ-НЕ} производится путем замены каждого элемента схемы, реализованной в базисе {И, ИЛИ, НЕ}, на эквивалентный элемент, реализованный в соответствующем базисе (рис. 8, 9).
