Скалярное произведение векторов

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ        Угол между двумя векторами. Понятие о скалярном произведении векторов

Цели: рассмотреть понятие угла между векторами; понятие скалярного роизведения

Угол между векторами

Рассмотрим свободные ненулевые векторы и . Если отложить данные векторы от произвольной точки , то получится  угол.

Угол между векторами может принимать значения от 0 до 180 градусов. Аналитически данный факт записывается в виде двойного неравенства:

 В литературе значок угла часто пропускают и пишут просто .

 

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов.

 

Перпендикулярные векторы (или ортогональные)	Коллинеарные векторы
	Сонаправленные	Противоположно направленные
Угол 90°	Угол 0°	Угол 180°

Скалярное произведение векторов

Определение: Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Обозначение: скалярное произведение обозначается через или просто .

Результат операции является ЧИСЛОМ:

 Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов – это числа, косинус угла – число, то их произведение тоже будет числом.

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов и , если

Решение: Используем формулу . В данном случае:

Ответ:

Значения косинуса можно найти в тригонометрической таблице.

Пример 2

Найти , если , а угол между векторами равен .

Решение:

Угол между векторами и значение скалярного произведения

В Примере 1 скалярное произведение получилось положительным, а в Примере 2 – отрицательным. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения. Смотрим на нашу формулу: . Длины ненулевых векторов всегда положительны: , поэтому знак может зависеть только от значения косинуса.

1) Если угол между векторами острый: (от 0 до 90 градусов), то , и скалярное произведение будет положительным: .

Особый случай: если векторы сонаправлены, то угол между ними считается нулевым , и скалярное произведение также будет положительным. Поскольку , то формула упрощается: .

2) Если угол между векторами тупой: (от 90 до 180 градусов), то , и, соответственно, скалярное произведение отрицательно: .

 Особый случай: если векторы направлены противоположно, то угол между ними считается развёрнутым: (180 градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как

Справедливы и обратные утверждения:

1) Если , то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены.

2) Если , то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены противоположно.

3) Если угол между векторами прямой: (90 градусов), то и скалярное произведение равно нулю: . Обратное тоже верно: если , то .

  Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы перпендикулярны (ортогональны) я математическая запись: