Теоретический материал для самостоятельного изучения

Фигуры в пространстве

Различные геометрические фигуры часто можно встретить в окружающем нас пространстве. Многие из них имеют причудливые формы. С древнейших времён человечество стремилось окружить себя красивыми зданиями: дворцами, храмами, другими сооружениями. Чтобы их построить, необходимы знания из математики. Поэтому мы продолжим знакомство с характеристиками геометрических фигур.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда нам уже известна. Сегодня мы рассмотрим, как определить объём прямоугольного параллелепипеда, если длины его рёбер выражены обыкновенными дробями.

Объём прямоугольного параллелепипеда

Перечень рассматриваемых вопросов:

– определение объёма прямоугольного параллелепипеда, если его стороны выражены обыкновенными дробями;

– выражение одних единиц измерения объёма через другие.

Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, со всех сторон ограниченный прямоугольниками, которые называются гранями.

Ребро – это отрезок, общий для двух граней параллелепипеда.

Вершина – это точка, в которой сходятся три ребра параллелепипеда.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра и грани равны.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы с вами уже знакомы с некоторыми пространственными телами: прямоугольный параллелепипед, куб, сфера, шар.

Вспомним, как выглядит прямоугольный параллелепипед, и назовём его элементы.

Снизу, сверху и с боков он ограничен прямоугольниками, которые называются гранями.

Нижняя и верхняя грань – это основания.

Грани пересекаются по отрезкам – рёбрам.

Точки, в которых пересекаются рёбра, называют вершинами.

Три ребра, которые сходятся в одной вершине, называют длиной, шириной и высотой.

Их ещё называют измерениями.

У прямоугольного параллелепипеда шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра и грани равны.

Нам известно, что объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется, как произведение a на b и на c. При этом мы считаем, что длина, ширина и высота выражены натуральными числами и измерены в одинаковых линейных единицах.

Эта формула будет верна и при дробных a, b и c.

V = a ∙ b ∙ с

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами

а = см, b = см и c = см.

Мы видим, что в этом случае объём равен:

(см³)

Достроим прямоугольный параллелепипед до куба со стороной 1 см. Площадь куба равна одному кубическому сантиметру.

V = 1 см³

Одно ребро куба разделено на 3 равные части, другое – на 2 и третье – на 5 равных частей.

Получили, что куб разделён на 30 одинаковых частей. Значит, объём каждой будет равен см³.

Прямоугольный параллелепипед состоит из четырёх таких частей, значит его объём будет равен:

(см³)

Итак, мы доказали, что если три ребра (а, b и c)прямоугольного параллелепипеда выражены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями, то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Давайте теперь вспомним, как можно выразить одни единицы измерения объёма через другие.

1 см³= 1000 мм³

1 дм³ = 1000 см³

1 м³= 1000 дм³

1 км³ = 1 000 000 000 м³

Для измерения объёмов жидкостей и сыпучих веществ используют литры

1 л = 1 дм³

Меры объёма на Руси

На Руси использовали свои меры объёма

Ведро = бочки = 10 кружек = 100 чарок = 200 шкаликов = 12 литров

Кадь (кадка, какова) = 20 вёдер

В эпоху Киевской Руси везде употребляли кадь и ее доли.