Системы показателей многофакторной корреляции и регрессии

Рассмотрим данную систему показателей на примере связи урожайности зерновых культур в 51 агрофирме Орловской области. Первоначально были отобраны 8 факторных признаков, которые могут влиять на вариацию урожайности:

x₁ – размер посевной площади зерновых, га;

x₂ – удельный вес зерновых в общей площади, %;

x₃ – затраты на 1 га посева зерновых, тыс. руб./га;

x₄ – затраты труда на 1 га, чел.-ч;.

x₅ – уровень оплаты труда, руб./чел.-ч.;

x₆ – энергообеспеченность, л.с./100 га пашни;

x₇ – число комбайнов на 1000 га зерновых, шт.;

x₈ – число трактористов-машинистов на 100 га пашни, чел.

Первоначальное уравнение регрессии имеет вид:

Однако надежно отличными от нуля оказались только коэффициенты при x₃ (t -критерий равен 10,5) и при x₈ (t -критерий равен 2,72). Большую надежность, чем другие факторы имеет и x₅.

После отсева ненадежных факторов, т.е. исключения их из уравнения, окончательное уравнение регрессии таково:

Таким образом, на различие урожайности в данных 51 агрофирмы сильнее всего и надежно повлияли различия между предприятиями в затратах на 1 га, в уровне оплаты труда и в обеспеченности квалифицированными работниками.

Каждый из коэффициентов, называемых коэффициентами чистой регрессии, интерпретируются как величина изменения урожайности при условии, что данный фактор изменяется на принятую единицу измерения, а два других фактора остаются постоянными на средних уровнях. Например, b₃ означает, что при увеличении затрат на 1 га зерновых и при неизменности оплаты труда и обеспеченности трактористами-машинистами урожайность в среднем увеличивалась в среднем на 4, 6 ц/га. Термин «условно чистая регрессия» означает, что влияние отдельного фактора очищено от сопутствующей вариации только тех факторов, которые входят в уравнение, но не очищено от возможной сопутствующей вариации других факторов.

Величина коэффициентов условно чистой регрессии зависит от принятых единиц измерения. Если бы фактор x₃ измерялся не в тысячах рублей на гектар, а в рублях на гектар, то коэффициент b₃ был бы равен 0,00461 руб./га. Следовательно, сравнивать между собой коэффициенты условно чистой регрессии нельзя. Чтобы получить сравнимые коэффициенты влияния вариации факторов на вариацию результата, следует избавиться от единиц измерения, привести к одной условной единице. Для этого можно применить два способа.

Первый способ называется стандартизацией. Этот термин возник из английского названия среднего квадратического отклонения (Standard deviation). Стандартизированные коэффициенты регрессии выражаются в долях или величинах, если они превышают единицу – в величинах σ _y. Стандартизированные коэффициенты обозначают греческой буквой β и называют бета-коэффициентами. Их формула такая:

(24)

В нашем примере получаем:

β₃ = 0,772;

β₅ = 0,147;

β₈ = 0,223.

Интерпретация бета-коэффициентов такова: при изменении фактора x₃ на одно его среднее квадратическое отклонение от средней величины и при постоянстве других факторов результативный признак (урожайность) отклонится от своего среднего уровня на 0,772 его среднего квадратического отклонения. Так как все стандартизированные коэффициенты выражены в одинаковых единицах измерения, в σ _y_, они сравнимы между собой, и можно сделать вывод, что на вариацию урожайности сильнее всего повлияла в изучаемой совокупности предприятий вариация затрат на гектар посева.

Другой способ приведения коэффициентов регрессии к сравнимому виду – их преобразование в коэффициенты эластичности. Формула коэффициента эластичности ℓ _j:

(25)

Интерпретируется коэффициент эластичности следующим образом: при изменении фактора x_j на его среднюю величину и при постоянстве других входящих в уравнение факторов результативный признак в среднем изменится на ℓ _j части его средней величины (или на ℓ _j средних, если ℓ _j >1, что бывает реже). Часто говорят, «изменится на ℓ _j процентов на 1% изменения фактора».

В нашем примере имеем:

Коэффициенты эластичности так же выражены, как и β _j, в одинаковых единицах и сравнимы между собой. Ими удобнее, чем β-коэффициентами, пользоваться в планировании и прогнозировании. Вряд ли менеджер станет планировать увеличение фактора, скажем, инвестиций на 0,6 сигмы. Обычно планируют изменение факторов, если они управляемы, на столько-то процентов от достигнутого уровня. Например, если планируем увеличить затраты на гектар зерновых на 10%, оплату труда на 30%, а обеспеченность квалифицированными трактористами-машинистами на 20%, то можно ожидать изменения урожайности на , где k_j – планируемые темпы прироста факторов.

Имеем:

Теперь рассмотрим систему показателей тесноты многофакторных связей. Прежде всего строится матрица парных коэффициентов корреляции (табл. 1).

Таблица 1. Матрица парных коэффициентов корреляции

Признаки	y	x₃	x₅	x₈
y	1
x₃	0,860	1
x₅	0,350	0,223	1
x₈	0,443	0,248	0,141	1

Матрица парных коэффициентов корреляции дает исходные данные для других показателей тесноты связи и для первичной проверки на коллинеарность. В данном случае все связи между факторами слабые, коллинеарность не испортит модель.

Важнейшим показателем тесноты связи в многофакторной системе является коэффициент множественной детерминации R². Он измеряет общую тесноту связи вариации результативного признака y с вариацией всей системы входящих в модель факторов. Величина коэффициента множественной детерминации может быть вычислена несколькими способами.

1.Вычисление на основе матрицы парных коэффициентов корреляции

где Δ^* - определитель матрицы;

, (26)

а Δ – определитель матрицы, не включающей первой строки Δ^* и ее последнего столбца, т.е.:

При двух факторах получается упрощенная формула расчета:

(27)

Из (27) следует, что при независимости факторов друг от друга, т.е. , коэффициент множественной детерминации есть сумма парных коэффициентов детерминации.

Пользуясь формулой (27), можно вычислить три возможных двухфакторных коэффициента детерминации:

2.Вычисление на основе парных коэффициентов корреляции и β-коэффициентов:

(28)

В примере: R² =0,86·0,772+0,35·0,147+0,433·0,223=0,8119.

3.Вычисление как корреляционное отношение, т.е. отношение вариации результативного признака y, связанной с вариацией системы факторов, входящих в модель (в уравнение регрессии), ко всей, общей, вариации результативного признака:

. (30)

Числитель формулы (30) – это сумма квадратов отклонений индивидуальных расчетных значений результативного признака от его средней, а знаменатель – сумма квадратов фактических значений результативного признака от средней, для всех единиц совокупности.

Частными коэффициентами детерминации называются показатели, измеряющие, на какую долю уменьшается необъясненная вариация уже имеющимися в модели факторами при включении в модель данного фактора x_m. Формула частного коэффициента детерминации такова:

(31)

В нашем примере:

Интерпретация такова: включение в модель фактора x₃ после x₅ и x₈ уменьшает необъясненную вариацию y на 74%; включение фактора x₅ после x₃ и x₈ уменьшает необъясненную вариацию y на 10%; включение фактора x₈ после x₃ и x₅ уменьшает необъясненную вариацию y на 20%.