Тема 1. Газовые законы. Молекулярно-кинетическая теория

Идеальные газы. Жидкости. Твердое состояние.

Идеальным газ называется в том случае, когда в нем отсутствует взаимодействие между молекулами (кроме упругих столкновений) и собственным объемом молекул можно пренебречь. Идеальные газы подчиняются законам Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, объединенному газовому закону, закону Авогадро и некоторым другим. Все они и некоторые другие называются законами идеальных газов.

Закон Бойля-Мариотта - изотермические условия (T=const).

p₁V₁ = p₂V₂ =... = p_nV_n = c, (1.1)

где p - давление, V - объем, T - абсолютная температура, с - постоянная

величина, зависящая от количества вещщества и от температуры.

Закон Гей-Люссака - изобарные условия (p=const)

V₁/T₁ = V₂/T₂ =... =V_n/T_n = c, (1.2)

где с - постоянная, зависящая от количества газа и давления.

Аналогично закон Шарля - изохорные условия(V=const)

p₁/T₁ = p₂/T₂ =... =p_n/T_n = c, (1.3)

где с - постоянная, зависящая от количества газа и объема.

Объединенный закон Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.

p₁V₁/T₁= p₂V₂/T₂ =... = p_nV_n/T_n= R, (1.4)

где R -универсальная газовая постоянная.

R = kN_A = 8,31Дж/моль•K = 62400мм•мл/моль•K = 0,082л•атм/моль•K =

= 1,98кал/моль•K.

Уравнение состояния газов Менделеева-Клапейрона.

pV = nRT, (1.5)

где n = m/M - число молей газа.

Закон Дальтона - парциальных давлений (T=const).

P_общ = p₁ + p₂ +... + p_n, (1.6)

n_общ = n₁ + n₂ +... + n_n. (1.7)

Если смесь газов при температуре Т занимает объем V, то

p₁ = n₁RT/V,

p₂ = n₂RT/V....

p_общ = (n₁+n₂+...+n_n)RT/V. (1.8)

p₁ = pn₁/n, p₂ = pn₂/n

Для идеальных газов мольная доля численно совпадает с объемной долей.

n₁/n = V₁/V. (1.9)

Закон Авогадро (p=const, T=const)

V₁/V₂ = n₁/n₂ (1.10)

Закон Амага (T=const)

V_общ = V₁ + V₂ +... + V_n,

где V_общ - общий объем газа,

V_n - парциальный объем газа - тот объем, который занимает компонент смеси, если его температура и давление равны общим температуре и давлению.

Парциальный объем и парциальное давление компонента связаны уравнением

V_np_общ = p_nV_общ. (1.11)

Из молекулярно-кинетической теории известно, что газокинетический радиус молекулы r - это половина расстояния, на которое могут сближаться молекулы при их "столкновении". Часто пользуются величиной газокинетического диаметра s

s_т = 2r_т (1.12)

s_т² = s_¥²(1 + с/T). (1.13)

Средняя длина свободного пробега молекулы между столкновениями

l_т = 1/(4Ö2pr²N), (1.14)

где r - газокинетический радиус молекулы,

N - число молекул в данном объеме газа.

Средняя арифметическая скорость молекулы газа

u_a = Ö8RT/pM (1.15)

где М - молекулярная масса газа.

Средняя квадратичная скорость молекул газа

u = Ö3RT/M. (1.16)

Законы идеальных газов можно применять к реальным газам, находящимся при высоких температурах и низких давлениях.

Если газы находятся в условиях, для которых неприменимы законы идеальных газов, тогда к ним применяют уравнение состояния реальных газов Ван-дер-Ваальса. Для 1 кмоль вещества

(p + a/V²)(V - b) = RT (1.17)

где p - давление, н/м2,

V - объем, м3,

а - постоянная, учитывающая взаимное притяжение молекул,

(м³)²н/(м²×кмоль^-2),

b - постоянная, учитывающая собственный объем молекул,

м³/кмоль,

a = 27R²T_к²/ 64p_к; b = 2pd³N_A/3 = Rt_к/8p_к (1.18)

где Т_к, р_к - критические температура и давление газа,

N_A - число Авогадро.

Типовые задачи по теме 1

1.1. Газ под давлением 1,2×10⁵ Па занимает объем 4,5 л. Каково будет давление, если, не изменяя температуры, увеличить объем до 0,0055 м³

1.2. При н.у. концентрация метана равна 0,0447 кмоль/м³. Вычислить, при какой температуре и нормальном давлении масса 10 м³ метана будет равна 8 кг.

1.3. При 22^оС и 95940 Па объем кислорода равен 20 л. Вычислить объем этого газа при н.у. Какова плотность кислорода при заданных условиях.

1.4. Вычислить среднюю арифметическую скорость движения молекул кислорода при 600^оС.

1.5. Вычислить давление, оказываемое 1 кмоль диоксида углерода при 50^оС, объем которого 1 м³, по уравнениям Ван-дер-Ваальса и Менделеева-Клапейрона. Сравнить полученные результаты.

1.6. Газовая смесь состоит из 3 м³ диоксида углерода, взятого под давлением 95940 Па, 4 м³ кислорода при давлении 106600 Па, 6 м³ азота при давлении 93280 Па. Объем смеси 10 м³. Определить парциальные давления газов в смеси и общее давление смеси. Температура постоянная.

Примеры решения типовых задач по теме 1

1.7. При 473 К и 0,999×10⁵ Па 7,16×10^{-4 кг органического вещества, испаряясь, занимают объем 2,426}×10^{-4 м3}. Массовое соотношение элементов в этом соединении (С:H:O=2,25:0,375:1). Вычислите молекулярную массу соединения и определите его формулу.

Решение.

По уравнению 1.5 определяем молекулярную массу вещества.

M = (mRT)/(pV) = 116 г/моль.

В общем виде формулу данного соединения можно представить в виде CxHyOz. Учитывая, что индексы в формуле соединений относятся как количества вещества каждого элемента, имеем:

x:y:z = (2,25:12): (0,375:1): (1:16) = 3: 6: 1.

Простейшая формула соединения C₃H₆O. Молекулярная масса, соответствующая этой формуле равна 58 а.е.м..

Учитывая молярную массу соединения (116), устанавливаем истинную формулу C₆H₁₂O₂.

1.8. Привести к нормальным условиям газ, если известно, что при 373 К и 13,33×10² Па его объем равен 3×10^{-2 м3}.

Решение.

По уравнению 1.4 находим объем, который занимает данное количество газа при нормальных условиях.

V = (p₁V₁T₀)/(p₀T₁) = 2,89×10^-4.

1.9. Вычислить парциальные объемы воды, азота и кислорода и парциальные давления азота и кислорода во влажном воздухе. Общий объем смеси 2×10^{-3 м3}, общее давление 1,0131×10⁵ Па, парциальное давление воды 1,233×10⁴ Па. Состав воздуха 21 об.% О₂ и 79 об.% N₂

Решение.

Вычисляем парциальный объем воды по уравнению 1.11.

V_(H2O)p_общ = V_общp_(H2O)

V_(H2O) = 2,4×10^-4 м³.

Вычисляем парциальные объемы O₂ и N₂:

V(O₂) + V(N₂) = V_общ - V_(H2O) = 0,002-0,00024 = 1,76×10^-3 м³.

V(O₂):V(N₂) = 0,21:0,79

Отсюда

V(O₂) = 1,76×10^-3×0,21 = 0,37×10^-3 м³

V(N₂) = 1,76×10^-3×0,79 = 1,39×10^-3 м³

Вычислим парциальные давления O₂ и N_2:

p(O₂) = p_общV(O₂)/V_общ= 1,866×104 н/ м².

p(N₂) = p_общ-p(H₂O) - p(O₂) = 7,033×104 н/ м².

1.10. Рассчитать длину свободного пробега (l) и среднюю скорость движения молекулы (u_a) для 0,0244 кмоль гелия, находящегося при 293 К в сосуде емкостью 10^{-3 м3}.

Решение

Для вычисления (l) пользуемся уравнениями 1.12-1.14.

Из справочных данных для гелия:

s_¥ = 1,82 А; с = 173;

s_Т² = 1,82²(1+173/293) = 2,295² А;

(В системе СИ 1 А = 10^-10 м);

r = 2,295×10^-10/2 = 1,147×10^-10 м.

Определим N -число молекул в данном объеме:

N = N_An/V = 6,024×10²⁶×0,0244/10-3 = 1,349×10²⁸.

По уравнению 1.2.14 находим:

l_Т = 1/4Ö2×3,14×1,147²×10^-20×1,349×10²⁸ = 3,172×10^-10 м.

Вычислим u_a по уравнению 1.15