Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Прямолинейность распространения света в однородной среде. Зонная пластинка

Дифракция света

Условия наблюдения дифракции света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Прямолинейность распространения света в однородной среде. Зонная пластинка. Дифракция Френеля на круглом отверстии и круглом диске. Дифракция Фраунгофера на одной щели. Дифракционная решетка. Образование спектров при освещении дифракционной решетки белым светом. Характеристики дифракционной решетки. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах. Формула Вульфа-Брэггов. Понятие о рентгеноструктурном анализе и рентгеновской спектроскопии.

Условия наблюдения дифракции света.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Прямолинейность распространения света в однородной среде. Зонная пластинка.

     Дифракция света – это совокупность явлений, которые обусловлены волновой природой света и наблюдаются при его распространении в среде с резко выраженными неоднородностями (например, малые отверстия, границы непрозрачных тел и т. д.).

В более узком смысле под дифракцией понимают огибание световыми волнами препятствий, размер которых соизмерим с длиной волны света. Слово «соизмерим» означает, что линейные размеры препятствий сравнимы с длиной волны или несколько больше нее.

Можно сказать, что дифракция света – любое отклонение распространения световых волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики (захождение волн в область геометрической тени).

Дифракция – явление общее для всех волновых процессов.

Качественно явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса.

    Принцип Гюйгенса – каждая точка, до которой доходит волна, служит источником вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.

    Вспомним, что волновой фронт – это геометрическое место точек, до которых доходит колебание в некоторый момент времени, а волновая поверхность – это геометрическое место точек, для которых колебания имеют одинаковые фазы.

Рассмотрим плоскую волну (волновая поверхность – плоскость), падающую на отверстие в непрозрачном экране (рис. 6.2.1). Принцип Гюйгенса позволяет рассматривать каждую точку отверстия как источник вторичной волны (для изотропной среды эти вторичные волны сферические). На рис. 6.2.1 видно, что огибающая вторичных волн (а, значит, и часть энергии световой волны) заходит в область геометрической тени, то есть световая волна огибает препятствие.

Принцип Гюйгенса позволяет говорить лишь о направлении распространения вторичной волны и не затрагивает вопрос об амплитуде, а, следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях.

Количественную теорию дифракционных явлений развил французский ученый Френель. В основу своей теории Френель положил принцип Гюйгенса, дополнив его идеей об интерференции вторичных волн.

Принцип Гюйгенса – Френеля: световая волна, возбуждаемая каким-либо источником, может быть представлена как результат интерференции когерентных вторичных волн, излучаемых воображаемыми вторичными источниками.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства.

С использованием принципа Гюйгенса-Френеля мы можем дать определение дифракции света, наиболее полно отражающее физическую сущность этого явления.

Дифракция света – перераспределение интенсивности света в пространстве в результате наложения очень большого числа когерентных волн. Очень большое число когерентных волн возникает потому, что количество воображаемых вторичных источников (например, количество точек на волновой поверхности) очень велико.

Последнее данное нами определение дифракции очень похоже на определение явления интерференции света. Явления интерференции и дифракции очень близки. Исторически так сложилось, что результат наложения двух или конечного числа когерентных волн назвали интерференцией, а результат наложения бесконечно большого числа когерентных волн – дифракцией света.

Рассмотрим метод, позволяющий найти амплитуду результирующей волны.

    Метод зон Френеля.

    Возьмем точечный источник света S (рис. 6.2.2). Такой источник излучает сферическую волну (волновая поверхность – сфера).

Рис. 6.2.2. Схема построения зон Френеля

    Никаких препятствий на пути волны пока не располагаем. Определим амплитуду световой волны в точке наблюдения Р (понятно, что не вся энергия источника S придет в эту точку). Согласно принципу Гюйгенса-Френеля заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на волновой поверхности (поверхности сферы), находящейся на расстоянии а от источника S. Воображаемые источники представим не точками, а кольцевыми зонами (зонами Френеля). Зоны Френеля формируем таким образом, чтобы расстояния от внешних границ соседних зон до точки Р отличались наl / 2.

    Из рис. 6.2.3 видно, что расстояние от внешней границы m -й зоны до точки наблюдения Р равно

                                       (6.2.1)

где b – расстояние от точки Р до ближайшей точки сферической поверхности.

    Математический расчет показывает, что площади всех зон Френеля примерно равны, следовательно, число вторичных точечных источников в них одинаково.

Рис. 6 2 3. Расчет радиуса зоны Френеля

Найдем параметры m -ой зоны Френеля: ее внешний радиус r _m и площадь Δ S _m. Из рис. 6.2.3 видно, что

r ²_m = a ² – (a – h _m)² = (b + m λ/2)² – (b + h _m)²,              (6.2.2)

где a – радиус волновой поверхности, r _m – радиус m -й зоны, h _m – высота сферического сегмента, соответствующего m -й зоне. Проведя несложные математические преобразования, получим выражение для h _m, которое имеет вид:

.                               (6.2.3)

    Ограничимся рассмотрением небольших значений m, а также учтем, что слагаемым, содержащим λ², можно пренебречь ввиду его малости. Тогда выражение (6.2.3) примет вид:

 .                                  (6.2.4)

Площадь m -ой зоны Френеля Δ S _m определяется разностью площадей сферических сегментов, внешние границы которых задаются m -ой и (m -1)–ой зонами.

Δ S _m = S _m – S _m-1 = 2π ah _m – 2π ah _m-1.                (6.2.5)

Подставляя (6.2.4) в (6.2.5) получим

.                                     (6.2.6)

Таким образом, мы получили, что при небольших значениях m площади зон Френеля остаются неизменными, так как Δ S не зависит от m.

    Из выражения (6.2.2) можно найти радиусы зон Френеля. При небольших значениях m h _m<< a (а – радиус сферической волновой поверхности). Поэтому радиусы зон Френеля (расстояния от прямой SР до внешних границ зон) равны

                     (6.2.7)

    Если положить для примера a = b = 1м, l = 0,5 мкм, то для радиуса первой (центральной) зоны Френеля получим r ₁ = 0,5 мм. Расстояния от вторичных источников до точки наблюдения растут с увеличением номера зоны. Угол j между нормалью к элементам зон и направлением на точку Р также увеличивается с увеличением m. Все это приводит к тому, что амплитуда A_m колебаний, возбуждаемых источниками m -й зоны в точке наблюдения, монотонно убывает с ростом m. Следовательно, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке наблюдения зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

A ₁ > A ₂ > A ₃ ….

Так как волны от соседних зон Френеля проходят до точки Р расстояния, отличающиеся на l / 2, то колебания, возбуждаемые в этой точке соседними зонами Френеля, осуществляются в противофазе. Действительно, для каждого источника какой-либо зоны найдется источник в соседней зоне, находящийся на l / 2 дальше от точки наблюдения, поэтому колебания от этих источников приходят в точку наблюдения в противофазе. Вследствие этого амплитуда световых колебаний в точке Р может быть представлена в виде

А = A ₁ – A ₂ + A ₃ – A ₄ + ….

    Перепишем это выражение в виде

    Вследствие монотонного убывания A_m можно приближенно считать, что выражения в скобках обращаются в ноль. Тогда

                                                (6.2.8)

    Таким образом, амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке наблюдения всей вспомогательной поверхностью, равна половине амплитуды колебаний, возбуждаемых источниками лишь одной центральной зоны Френеля. Это значит, что в точку Р придет волна только от первой зоны Френеля, то есть принцип Гюйгенса-Френеля и метод зон Френеля не противоречат тому, что свет в однородной среде распространяется прямолинейно.

Зонная пластинка.

    На пути световой волны можно расположить специальным образом изготовленный экран, называемый зонной пластинкой.

Рис. 6.2.4. Зонная пластинка

    Такой экран открывает зоны Френеля с нечетными номерами (1-ю, 3-ю, 5-ю и т.д., рис. 6.2.4). Вторичные волны от этих зон будут приходить в точку наблюдения Р в одинаковой фазе, и в результате интерференции усилят друг друга. В итоге интенсивность света в точке Р можно во много раз увеличить.

Зонная пластинка, содержащая n открытых зон, создает в точке наблюдения интенсивность, приблизительно в n ² раз большую, чем отверстие размером в одну зону Френеля. Следовательно, в точке P на оси происходит значительное усиление интенсивности света, т.е. в этой точке свет фокусируется. Зонная пластинка ведет себя как линза. Если считать, что падающие на пластинку лучи параллельны, т.е. a = ¥, то точка на оси, в которой собираются лучи, ведет себя как фокус линзы, совпадающей по положению с зонной пластинкой, если ее фокусное расстояние f = b.