Дифракция Фраунгофера на одной щели. Дифракционная решетка. Образование спектров при освещении дифракционной решетки белым светом. Характеристики дифракционной решетки

 

Наибольший практический интерес представляют дифракционные явления, наблюдаемые при падении на препятствие параллельного пучка света (плоской световой волны). В результате дифракции пучок утрачивает параллельность, часть света распространяется в направлениях, отличных от первоначального. Распределение его интенсивности на очень большом (в пределе – бесконечно большом) расстоянии от экрана соответствует случаю дифракции Фраунгофера.

    Схема опыта показана на рис. 6.2.7. Точечный источник света S помещают в фокусе линзы L. Получающийся параллельный пучок лучей падает на экран с отверстием. Наиболее важен случай, когда отверстие в экране имеет незначительную ширину и бесконечную длину (щель). Практически достаточно, чтобы длина щели была много больше ее ширины. В этом случае свет дифрагирует в направлении, перпендикулярном щели. Дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости другой собирающей линзы L.

Рис. 6.2.7. Схема наблюдения дифракции Фраунгофера

    Рассмотрим подробнее дифракцию плоской волны на одной щели (рис. 6.2.8). Пусть параллельный пучок монохроматического света падает нормально на непрозрачный экран, в котором прорезана узкая щель . Длина щели l перпендикулярна плоскости чертежа, а ширина равна , причем . Когда плоский фронт падающей волны совпадает с плоскостью щели ВС, то согласно принципу Гюйгенса-Френеля все точки щели служат центрами вторичных когерентных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими. Волны распространяются от щели вперед по всем направлениям. Если на пути лучей, проходящих через щель, поставить собирающую линзу, а в ее фокальной плоскости экран, то на экране будет наблюдаться дифракционная картина.

    Линза собирает исходящие от вторичных источников лучи, которые распространяются в одинаковых направлениях, в определенной точке экрана. Для каждого направления положение точки на экране можно определить по месту пересечения с экраном побочной оптической оси (прямая проходящая через оптический центр линзы), проведенной в данном направлении.

 

 

Рис. 6.2.8. Дифракция Фраунгофера на одной щели

    Для того, чтобы определить, в каких точках будут наблюдаться дифракционные максимуму или минимумы, воспользуемся методом зон Френеля. Разобъем волновой фронт ВС на зоны Френеля следующим образом. Через точку В проведем плоскость, перпендикулярную направлению лучей, идущих под углом j к первоначальному направлению (отрезок BD на рис. 6.2.8). Угол j называется углом дифракции. Начиная от плоскости BD и дальше, до экрана, параллельные лучи не имеют разности хода, т.к. линза не вносит изменений в нее. Разность хода D, определяющая результат интерференции этих лучей, возникает лишь на пути от исходного фронта ВС до плоскости BD. Для произвольной точки экрана оптическая разность хода между крайними лучами  и , идущими от щели под углом  к главной оптической оси линзы  определяется формулой:

.                                 (6.2.9)

Разобьем щель  на ряд узких полосок параллельных ребру щели. Ширина каждой полоски выбирается так, чтобы разность хода от краев этих полосок была равна . Эти полоски и являются в данном случае зонами Френеля. При интерференции лучей от каждой пары соседних полосок (зон Френеля) амплитуда результирующих колебаний равна нулю, так как эти полосы вызывают колебания с одинаковыми амплитудами, но противоположными фазами. Всего на ширине щели разместится     полос.

    Если число полос четное, т.е.  или

 (),                        (6.2.10)

то наблюдается дифракционный минимум (темная полоса).

    Если число зон нечетное:  или

, (),                (6.2.11)

то наблюдается дифракционный максимум (светлая полоса), соответствующий действию одной некомпенсированной зоны Френеля.

    Соотношения (6.2.10) и (6.2.11) называются соответственно условиями минимума и максимума дифракции на одной щели. Знаки  соответствуют положительным (отсчитанным от оси OF по ходу часовой стрелки) и отрицательным (отсчитанным от оси OF против хода часовой стрелки) углам дифракции . Величина m называется порядком дифракционного минимума или максимума.

Распределение интенсивности в дифракционной картине монохроматической волны, испытавшей дифракцию на щели, показано на рис. 6.2.8. В направлении  на экране наблюдается самый интенсивный центральный максимум нулевого порядка, т.к. колебания от всех точек фронта ВС придут в эту точку (фокус линзы) в одинаковой фазе. Симметрично по обе стороны от центрального максимума интенсивность будет спадать до первого минимума, а затем возрастать до первого максимума и т.д. Величина интенсивности вторичных максимумов быстро убывает. Численные значения интенсивностей центрального и последующих максимумов относятся как 1:0,047:0,017:0,008 и т.д. Основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. На рис. 6.2.8 по оси абсцисс отложен синус угла , величина которого не может превышать единицу (). Поэтому представленное на рисунке распределение имеет место при ширине щели b, существенно большей длины волны λ. Это означает, что с уменьшением ширины щели центральная светлая полоса расширяется,захватывая все большую и большую область экрана.

В предельном случае (b = λ) первый минимум соответствует углу 90°. Следовательно, освещенность экрана падает от центра к краям, асимптотически приближаясь к нулю. При увеличении ширины щели появляются боковые полосы, которые сгущаются, при этом центральный максимум становится более узким и резким (рис. 6.2.9). Четко выраженные широкие максимумы и минимумы наблюдаются в промежуточном случае, когда ширина щели всего в несколько раз превышает длину волны и число зон Френеля порядка 3-5.

Углы, под которыми наблюдаются максимумы всех порядков, начиная с первого, зависят от длины волны . Поэтому падающий на щель белый свет разложится в спектр. Центральный максимум будет общим для всех

длин волн. Вторичные максимумы для разных длин волн не будут совпадать: ближе к центру располагаются максимумы соответствующие более коротким волнам. Однако эти максимумы расплывчаты, перекрываются с минимумами других длин волн. Дифракционная картина имеет вид центральной белой полосы, переходящей в цветную окаемку. Отчетливого разделения различных длин волн (спектрального разложения) не получается. 

    Дифракционная решетка (Д.р.) - оптический прибор, представляющий собой периодическую структуру из большого числа регулярно расположенных элементов, на которых происходит дифракция света. В качестве элементов могут быть, например, параллельные равноотстоящие штрихи, нанесенные на плоскую или вогнутую оптическую поверхность. Если штрихи нанесены на плоскую поверхность, то Д.р. называется плоской, если на вогнутую поверхность – вогнутой. Различают прозрачные и отражательные Д.р. У прозрачных Д.р. наблюдение ведется в проходящем свете через щели, образующимися между штрихами, нанесенными на прозрачную (обычно стеклянную) пластинку или вырезанными в непрозрачном экране. У отражательных Д.р. штрихи наносятся на зеркальную (обычно металлическую) поверхность, и наблюдение ведется в отраженном свете.

    Основным свойством дифракционной решетки является ее способность раскладывать падающий пучок света по длинам волн, поэтому решетку используют в спектральных приборах в качестве диспергирующего элемента наряду с призмами.

    Решетки применяют для работы и исследований в различных областях спектра: видимой, ближней и дальней инфракрасной, ультрафиолетовой и рентгеновской.

    Решетки различаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем штрихов и их частотой. Число штрихов, наносимых на дифракционную решетку, колеблется от 2400 штрихом на 1мм до 0,25 штриха на 1мм.

    Простейшая одномерная дифракционная решетка представляет собой систему из большого числа одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, лежащих в одной плоскости и разделенных непрозрачными промежутками, равными по ширине.

Рассмотрим дифракцию на одномерной плоской прозрачной дифракционной решетке. Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нормально на дифракционную решетку (рис. 6.2.10) с одинаковыми щелями шириной b, отстоящими друг от друга на расстоянии а. Величина называется постоянной (периодом) решетки. Параллельно решетке установим собирающую линзу и экран в фокальной плоскости линзы. Будем предполагать, что длина пространственной когерентности падающей волны намного превышает длину решетки, поэтому колебания от всех щелей будут когерентными.

    В случае дифракции Фраунгофера на одной щели распределение интенсивности на экране определяется направлением дифрагированных лучей. Поэтому перемещение щели параллельно самой себе не изменит дифракционной картины. Следовательно, если перейти от одной щели ко многим (к дифракционной решетке), то дифракционные картины, создаваемые каждой щелью в отдельности, будут одинаковыми (придутся на одно и то же место экрана). Независимо от положения щели, центральный максимум лежит напротив центра линзы. Результирующая картина в других точках экрана определится как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей.

    Для наглядности рассмотрим ход лучей от двух соседних щелей.

 

Рис. 6.2.10. Дифракция на одномерной плоской прозрачной дифракционной решетке

Очевидно, что направления, в которых щели не распространяют свет, будут теми же, как и в случае одной щели, так как перемещение щели параллельно самой себе не изменит дифракционной картины. Следовательно, прежние(главные)минимумыинтенсивности наблюдаются в направлениях, определяемых условием:

  .                               (6.2.12)

Световые лучи, посылаемые двумя щелями, вследствие взаимной интерференции в некоторых направлениях могут гасить друг друга, определяя дополнительные минимумы. Этим направлениям соответствует разность хода лучей , ,  ...(рис. 6.2.10):

 .  (6.2.13)

В то же время в направлениях, для которых разность хода

,                          (6.2.14)

действие одной щели усиливает действие другой. Этим направлениям соответствуют главные максимумы. Число m дает порядок главного максимума.

Между двумя главными максимумами располагается дополнительный минимум (условие (6.2.13)). При этом по сравнению со случаем одной щели, максимумы становятся более узкими.

Аналогичное рассмотрение показывает, что при трех щелях между каждыми двумя главными максимумами  располагаются два дополнительных минимума . При четырех щелях – три минимума и т.д. В случае N щелей между соседними главными максимумами, наблюдается (Ν – 1) дополнительных минимумов, разделенных слабыми вторичными максимумами (их число равно (Ν – 1)). Использование большого числа регулярно расположенных щелей равной ширины означает переход к дифракционной решетке.

Для дифракционной решетки, состоящей из Ν щелей, условием главных максимумов является соотношение (6.2.14), главных минимумов – формула (6.2.12), а условие дополнительных минимумов:

, (6.2.15)

т.е.  может принимать все целочисленные значения, кроме 0, Ν, 2Ν,…., при которых условие (6.2.15) переходит в (6.2.14).

Дифракционная картина от решетки получается в результате дифракции на каждой щели и интерференции лучей, падающих от разных щелей. Главные максимумы соответствуют таким углам , для которых колебания от всех  щелей складываются в фазе, т.е. , где  - амплитуда колебания от одной щели под углом . Интенсивность максимума: , т.е. может превышать в миллионы раз интенсивность максимума, создаваемого одной щелью (для хороших решеток  достигает нескольких десятков тысяч).

    При учете лишь интерференции пучков, исходящих от отдельных щелей, главные максимумы должны были бы обладать одинаковой интенсивностью (рис. 6.2.11а).

В действительности из- за того, что лучи, дифрагирующие от каждой из щелей под разными углами , дают в фокальной плоскости линзы  колебания различных амплитуд, величина главных максимумов различна. Для учета этого воспользуемся видом дифракционной картины от одной щели. В фокальной плоскости линзы  одна щель дает распределение интенсивности , (рис. 6.2.11б). Главный максимум при , минимумы при .

    Истинное распределение интенсивности  представится произведением: . Как оно выглядит, показано на рис. 6.2.11в. Интенсивными будут лишь те главные максимумы , которые попадают в область главного максимума дифракционной картины .

    Число наблюдаемых главных максимумов зависит от отношения между величиной периода решетки  и шириной щелей .

    В самом деле, первый минимум кривой  (положительные углы) лежит при значении . На это же значение угла приходится главный максимум кривой , если выполнено условие , где  – целое

число. Отсюда , т.е., если отношение  – целое число, то главный

максимум порядка  попадает на главный минимум кривой  и пропадает.

    Наш рисунок относится к случаю четырех равноотстоящих щелей и . Так как , то из этого следует, что , , . Непрозрачные промежутки в два раза шире самих щелей. Количество наблюдаемых главных максимумов определяется отношением периода решетки к длине волны. Так как , то из (6.2.14) вытекает, что . Можно показать, что угловая ширина главных максимумов обратно пропорциональна длине решетки, т.е. ~ .

Рис. 6.2.11. Распределение интенсивности света на экране
при дифракции Фраунгофера на дифракционной решетке

    Положение главных максимумов зависит от длины волны . При освещении решетки белым светом в центре () получается белая полоса, так как при  условие главного максимума (6.2.14) выполняется при любом . Справа и слева от центральной белой полосы возникают окрашенные полосы – так называемые спектры первого, второго и т.д. порядков. Число  называется порядком спектра. В каждом из спектров максимумы для фиолетовых лучей располагаются ближе к центральной полосе, максимумы для красных лучей – дальше от нее.

    На рис. 6.2.12 схематически изображено положение центральной светлой полосы и видимых спектров различных порядков, отмеченных римскими цифрами I, II, III…. Видимые спектры второго и третьего порядков частично перекрывают друг друга (на рис. 6.2.12 спектры второго и третьего порядков смещены по вертикали).

Рис. 6.2.12. Дифракционная картина при освещении решетки белым светом

Таким образом, дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор. В дифракционных спектрах положение линий, соответствующих определенным длинам волн, зависит от длины волны и постоянной решетки. Поэтому дифракционные решетки используются для измерения длин волн. Из условия главных максимумов (6.2.14) получим формулу для определения длины волны

 .                                    (6.2.16)

Поскольку постоянная решетки d указывается в паспорте, то для определения длины волны  необходимо измерить угол дифракции  в спектре выбранного порядка (значения ).

Основными характеристиками спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая способность.

Угловая дисперсия определяет угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу, т.е.

,                                                   (9)

где  -угловое расстояние между спектральными линиями, отличающими по длине волны на .

    Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решетки, продифференцируем условие главного максимума (6.2.14) слева по , а справа по .

Опустив знак минус, получим соотношение , из которого

.                            (6.2.17)

Для небольших углов дифракции , поэтому . Таким образом, дисперсия дифракционной решетки обратно пропорциональна периоду решетки и возрастает с увеличением порядка спектра.

Разрешающей способностью спектрального прибора называют величину

,                                                (6.2.18)

где  – минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которых эти линии воспринимаются раздельно. Можно показать, что разрешающая способность дифракционной решетки пропорциональна числу щелей и порядку спектра:

.                                           (6.2.20)