Линии влияния усилий в стержнях

Лекция №5. Линии влияния в балочных фермах

Линии влияния усилий в стержнях простых ферм.

Теория линий влияния была разработана в середине XIX века инженерами Парижской школы дорог и мостов для расчета ферм, и лишь позднее была распространена на расчет других расчетных схем.

Линией влияния усилия в стержне фермы называется графическое изображение закона изменения усилия в заданном стержне при движении по грузовому поясу фермы силы =1

В основе построения линий влияния усилий в стержнях двухопорной простой балочной фермы лежит построение линий влияния опорных реакций.

Линии влияния опорных реакций в простой ферме.

Прежде чем графически изобразить закон изменения опорной реакции R_Апри движении по ферме силы =1, этот закон надо выявить аналитически. Для этого рассмотрим условие статического равновесия:

откуда выразим

Графиком последнего уравнения является прямая линия, для построения которой необходимо знать положение двух точек: а) при х=0 R _a =1; б) при х= L R _a =0; по полученным ординатам строим линию влияния опорной реакции R _a (рис 1а). Очертание линии влияния опорной реакции повторяет очертание линии влияния в простой балке, по аналогии построим линию влияния опорной реакции R_b (рис 1б).

Рис 1а Рис.1б

Вывод: линии влияния опорных реакций в фермах балочного типа не зависят от очертания решетки и строятся так же, как в простых балках.

Для построения линии влияния опорной реакции в простой балочной ферме достаточно:

1) на вертикали, проходящей через рассматриваемую опору, отложить «+1»;

2) на вертикали, проходящей через другую опору, отложить «0»;

3) соединить построенные точки прямой линией. Если ферма имеет консольные части, продолжить прямую линию в пределах всей фермы, т.е. до конца консолей.

Линии влияния усилий в стержнях

Линия влиянияусилия в стержне фермы - это графическое изображение закона изменения усилия в заданном стержне фермы при перемещении по грузовому поясу фермы единичной силы =1.

Что бы графически изобразить закон изменения усилия надо сначала выявить этот закон аналитически, при этом используются те же методы и способы, что и при аналитическом расчёте усилий в стержнях ферм на действие постоянной нагрузки (см. блок-схему аналитического расчета усилий в стержнях фермы).

Вспомним порядок аналитического расчета:

	Определение усилий в стержнях простой балочной фермы
	Задаем себе вопрос и в зависимости от ответа на него выбираем метод расчета: Можно ли провести сквозное сечение таким образом, чтобы рассеченными оказались три стержня?
	- Да			- Нет
Метод сечений			Метод вырезания узла
Снова задаем себе вопрос и в зависимости от ответа на него выбираем способ расчета: Пересекаются ли два из трех рассеченных стержней за исключением рассчитываемого, в одной точке? (…Условно назовем ее «К»…)			Выбирать способ расчета не приходится: единственно возможный способ расчета - способ проекций:
- Да		- Нет
Способ моментной точки «К» - составляем сумму моментов всех сил, приложенных по одну сторону от сечения относительно точки «К» или		Способ проекций – составляем сумму проекций всех сил, приложенных по одну сторону от сечения, (или приложенных к узлу) на ось или

Особенность построения линий влияния в фермах проявляется в том, что единичная сила прикладывается только в узлах грузового пояса фермы, и при построении линии влияния необходимо учитывать узловое приложение единичной силы.

В отличие от построения линий влияния в балке, очертание линии влияния в ферме меняется не только при перемещения силы по сооружению, но в значительной степени зависит также от того, по какому поясу – верхнему или нижнему - перемещается сила =1.

При построении линий влияния в балках используется шаблонный подход, т.е. имеется набор из пяти-шести типовых линий влияния, которые служат для построения линий влияния в простых и многопролетных балках. Такой порядок построения не применим при построении линий влияния в фермах.

Построение линии влияния усилия в стержне фермы возможно только после аналитического выявления закона изменения усилия в рассматриваемом стержне фермы при всех возможных положениях единичной силы на грузовом поясе фермы.

Аналитически выявляется закон изменения усилия в стержне методом сечений или методом вырезания узлов. Приоритетным при этом является метод сечений. Рассматривается возможное положение силы =1 последовательно слева, а затем справа от рассеченной панели. Составляют уравнения статического равновесия: сумма моментов всех сил (или сумма проекций всех сил), приложенных по одну сторону от рассеченной панели должна быть равна нулю. Из уравнения выражают зависимость искомого усилия от опорных реакций.

Порядок расчета и построения линии влияния методом сечения, способом моментной точки: (метод сечения применяется в том случае, если можно провести сквозное сечение таким образом, чтобы рассеченными оказались три стержня, способ моментной точки применяется в том случае, если два других из трех рассеченных стержней пересекаются в одной точке «К», эту точку принято называть моментной точкой или точкой Риттера)

Задаемся положением единичной силы слева от рассеченной панели. Составляем уравнение статического равновесия åМ_к^прав= 0 (или åМ_к^лев=0), из последнего уравнения выражаем рассчитываемое усилие. Полученное выражение, к примеру читается в общем виде так: «если сила =1находится слева от рассеченной панели, линия влияния N_i повторяет линию влияния опорной реакции R_В, ординаты которой взяты с тем или иным знаком, увеличены в k раз». Для построения левой ветви линии влияния N_i достаточно на опорной вертикали «В» отложить значение «k», соединить полученную ординату с нулем на опорной вертикали «А». Действительное очертание левой ветви ограничено слева – крайним узлом фермы, а справа – левым узлом рассеченной панели.

Аналогично производится построение правой ветви. Задаемся положением единичной силы справа от рассеченной панели. Составляем уравнение статического равновесия åМ_к^лев=0 (или åМ_к^прав=0), из последнего уравнения выражаем рассчитываемое усилие. Полученное выражение, к примеру читается в общем виде так: «если сила Р=1 находится справа от рассеченной панели, линия влияния N_i повторяет линию влияния опорной реакции R_A, ординаты которой взяты с тем или иным знаком, увеличены в k₁ раз». Для построения правой ветви линии влияния N_i достаточно на опорной вертикали «А» отложить значение «k₁», соединить полученную ординату с нулем на опорной вертикали «В». Действительное очертание правой ветви ограничено справа – крайним узлом фермы, а слева –правым узлом рассеченной панели.

В пределах рассеченной панели строим переходную (передаточную) линию – она соединяет крайнюю левую точку правой ветви и крайнюю правую точку левой ветви.

Рассмотрим пример построения линий влияния в стержнях третьей панели:

1) Линия влияния усилия в стержне нижнего пояса N_3-5, т.е. строим графическое изображение закона изменения усилия в стержне 3-5 при перемещении силы по грузовому верхнему поясу. Выявляем закон изменения усилия N_3-5 аналитически: методом сечения I-I, способом моментной точки - моментной точкой является точка 4, в которой пересекаются оси двух других из трех рассеченных стержней (рассечены стержни 4-6,

4-5 и 3-5, стержень 3-5 –искомый, следовательно, моментной является точка пересечения двух других стержней, а именно стержня 4-6 и стержня 4-5)

Если сила перемещается справа от рассеченной панели 4-6, рассмотрим равновесие левой отсеченной части:

Т.е., если сила находится справа от рассеченной панели, линия влияния усилия в стержне 3-5 повторяет линию влияния опорной реакции V_А, все ординаты которой увеличены в 2d и уменьшены в h раз: для построения правой ветви линии влияния достаточно на опорной вертикали «А» отложить «+1», умножить ее на и соединить полученную ординату с нулем на опорной вертикали В.

Если сила перемещается слева от рассеченной панели 4-6, рассмотрим равновесие правой отсеченной части:

Т.е, если сила находится слева от рассеченной панели 4-6, линия влияния усилия в стержне 3-5 повторяет линию влияния опорной реакции V_В, все ординаты которой увеличены в 2d и уменьшены в h раз:

Таким образом, построены левая и правая ветви линии влияния, крайние ординаты правой и левой ветвей в пределах рассеченной панели 4-6 соединяем прямой линией – эту линию принято называть передаточной (или переходной) линией. В рассматриваемом примере передаточная линия является продолжением правой ветви.

Мы рассмотрели построение линии влияния при перемещении единичной силы по верхнему поясу, рассмотрим, как изменится очертание линии влияния усилия в том же стержне при перемещении единичной силы по нижнему поясу (принято называть такое положение силы: «при езде понизу"). При перемене уровня езды меняется рассеченная панель – на нижнем поясе сечением I-I рассечена панель 3-5!

Линия влияния усилия в стержне нижнего пояса N_3-5, т.е. графическое изображение закона изменения усилия в стержне 3-5 при перемещении силы по грузовому нижнему поясу фермы. Выявляем закон изменения усилия N_3-5 аналитически: методом сечения I-I, способом моментной точки - моментной точкой является точка 4, в которой пересекаются оси двух других из трех рассеченных стержней.

Если сила перемещается справа от рассеченной панели 3-5, рассмотрим равновесие левой отсеченной части:

Если сила перемещается слева от рассеченной панели 4-6, рассмотрим равновесие левой отсеченной части:

Т.е, если сила находится слева от рассеченной панели 3-5, линия влияния усилия в стержне 3-5 повторяет линию влияния опорной реакции V_В, все ординаты которой увеличены в 2d и уменьшены в h раз.

Легко заметить, что при перемене уровня езды не меняются выражения для определения закона изменения усилия, единственное отличие связано с изменением границ рассеченной панели, а как мы уже установили, в пределах рассеченной панели проходит передаточная прямая, следовательно, при перемене уровня езды меняется положение передаточной прямой в том случае, если границы рассеченных панелей при езде поверху и понизу не совпадают.

2) Рассмотрим построение линии влияния в стержне верхнего пояса фермы – N_4-6

Линия влияния усилия в стержне верхнего пояса N_4-6, т.е. строим графическое изображение закона изменения усилия в стержне 4-6 при перемещении силы по грузовому верхнему поясу. Выявляем закон изменения усилия N_4-6 аналитически: методом сечения I-I, способом моментной точки - моментной точкой является точка «5», в которой пересекаются оси двух других из трех рассеченных стержней (рассечены стержни 4-6,

4-5 и 3-5, стержень 4-6 –искомый, следовательно, моментной является точка пересечения двух других стержней, а именно стержня 3-5 и стержня 4-5)

Если сила перемещается справа от рассеченной панели 4-6, рассмотрим равновесие левой отсеченной части:

Т.е., если единичная сила находится справа от рассеченной панели, линия влияния усилия в стержне 4-6 повторяет линию влияния опорной реакции V_А, все ординаты которой увеличены в 3d и уменьшены в h раз: для построения правой ветви линии влияния достаточно на опорной вертикали «А» отложить «-1», умножить ее на и соединить полученную ординату с нулем на опорной вертикали В.

Если сила перемещается слева от рассеченной панели 4-6, рассмотрим равновесие правой отсеченной части:

Т.е, если сила находится слева от рассеченной панели 4-6, линия влияния усилия в стержне 4-6 повторяет линию влияния опорной реакции V_В, все ординаты которой взяты с обратным знаком, увеличены в d и уменьшены в h раз.

Мы рассмотрели построение линии влияния при перемещении единичной силы по верхнему поясу, рассмотрим, как изменится очертание линии влияния усилия в том же стержне при перемещении единичной силы по нижнему поясу. При перемене уровня езды меняется рассеченная панель – на нижнем поясе сечением I-I рассечена панель 3-5!

Как мы установили ранее, при перемене уровня езды не меняются выражения закона изменения усилия в рассматриваемом стержне, но в связи с изменением границ рассеченной панели происходит изменение положения передаточной прямой. Перенесем на построенные левую и правую ветвь линии влияния границы рассеченной панели и увидим, что передаточная линия удлиняется, но при этом не меняется общее очертание линии влияния.

Рассмотрим построение линии влияния в раскосе 4-5: и на этом примере выясним

Порядок расчета и построения линии влияния методом сечения, способом проекций: (метод сечения применяется в том случае, если можно провести сквозное сечение таким образом, чтобы рассеченными оказались три стержня, способ проекций применяется в том случае, если два других из трех рассеченных стержней, за исключением рассчитываемого, не пересекаются, т.е. параллельны):

Рассматриваем возможное положение единичной силы на грузовом поясе фермы: слева от рассеченной панели, справа от рассеченной панели, в пределах рассеченной панели. Составляем уравнение статического равновесия сумма проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассеченной панели на ту или иную ось:åY= 0 (или åX=0), из последнего уравнения выражаем рассчитываемое усилие. Полученное выражение, к примеру читается в общем виде так: «если сила =1находится слева от рассеченной панели, линия влияния N_i повторяет линию влияния опорной реакции R_В, ординаты которой взяты с тем или иным знаком, увеличены в k раз». Для построения левой ветви линии влияния N_i достаточно на опорной вертикали «В» отложить значение «k», соединить полученную ординату с нулем на опорной вертикали «А». Действительное очертание левой ветви ограничено слева – крайним узлом фермы, а справа – левым узлом рассеченной панели.

Аналогично производится построение правой ветви. Задаемся положением единичной силы справа от рассеченной панели. Составляем уравнение статического равновесия:åY= 0 (или åX=0), из последнего уравнения выражаем рассчитываемое усилие. Полученное выражение, к примеру читается в общем виде так: «если сила Р=1 находится справа от рассеченной панели, линия влияния N_i повторяет линию влияния опорной реакции R_A, ординаты которой взяты с тем или иным знаком, увеличены в k₁ раз». Для построения правой ветви линии влияния N_i достаточно на опорной вертикали «А» отложить значение «k₁», соединить полученную ординату с нулем на опорной вертикали «В». Действительное очертание правой ветви ограничено справа – крайним узлом фермы, а слева – правым узлом рассеченной панели.

3)Линия влияния усилия в стержне раскоса N_4-5, т.е. строим графическое изображение закона изменения усилия в стержне 4-5 при перемещении силы по грузовому верхнему поясу. Выявляем закон изменения усилия N_4-5 аналитически: методом сечения I-I, способом проекций – методом моментной точки воспользоваться невозможно, так как два других из трех рассеченных стержней параллельны и, следовательно, не пересекаются. (рассечены стержни 4-6, 4-5 и 3-5, стержень 4-5 –искомый, а стержни 4-6 и 3-5 – параллельны).

Если сила перемещается справа от рассеченной панели 4-6, рассмотрим равновесие левой отсеченной части:

Т.е., если сила находится справа от рассеченной панели 4-6, линия влияния усилия в стержне 4-5 повторяет линию влияния опорной реакции V_А, все ординаты которойумножены на величину, обратную синусу угла : для построения правой ветви линии влияния достаточно на опорной вертикали «А» отложить «+1», умножить ее на и соединить полученную ординату с нулем на опорной вертикали В.

Если сила перемещается слева от рассеченной панели 4-6, рассмотрим равновесие правой отсеченной части:

Т.е, если сила находится слева от рассеченной панели 4-6, линия влияния усилия в стержне 4-5 повторяет линию влияния опорной реакции V_В, все ординаты которой взяты с обратным знаком и умножены на коэффициент вида:

Переносим на построенные ветви линии влияния границы рассеченной панели при езде поверху – рассеченная панель 4-6, а при езде понизу - рассеченная панель 3-5, в результате проявляются различия в очертании линии влияния при езде поверху и понизу…

Выполняя аналитический расчет фермы мы убедились в том, что не во всех стержнях можно определить усилия методом сквозных сечений – если при попытке провести сечение рассеченными оказываются более трех стержней, единственно возможным методом в этом случае является метод вырезания узлов.

Рассмотрим порядок построения линии влияния методом вырезания узла на примере линии влияния усилия в стойке 5-6:

При построении линии влияния методом вырезания узлов последователь рассматривают условие равновесия узла при двух возможных положениях единичной силы: «сила =1 в узле» и «сила =1 вне узла». Если сила =1 находится вне узла, вырезают узел, рассматривают условие статического равновесия и выражают усилие в искомом стержне через усилие в другом стержне, при этом выражение имеет вид и читается в общем виде так: если сила =1 находится вне узла, то линия влияния N_i повторяет линию влияния усилия в стержне N_m ординаты которой взяты с тем или иным знаком, увеличены в k раз. В соответствии с этим соотношением производится построение линии влияния. Затем рассматривается положение силы =1 в узле, вновь составляется то же уравнение равновесия, при этом получаем выражение , согласно которому рассчитывается ордината (!) линии влияния в рассматриваемом узле. Следует иметь в виду, что вырезая узел, мы рассекаем две смежные панели, поэтому на линии влияния имеют место две передаточные линии в пределах двух рассеченных панелей!

4) Линия влияния усилия в стойке N_6-5, т.е. строим графическое изображение закона изменения усилия в стержне 6-5 при перемещении силы по грузовому верхнему поясу. Выявляем закон изменения усилия N_4-5 аналитически: методом вырезания узла 6, и способом проекций –

Если сила находится вне узла 6, рассмотрим равновесие узла 6:

Таким образом, если сила находится вне узла 6, ординаты линии влияния усилия в стойке 6-5 равны «0», т.е.линия влияния нулевая.

Если сила находится в узле 6, рассмотрим равновесие узла 6:

Таким образом, если сила находится в узле 6, ордината линии влияния усилия в стойке

6-5 равна «-1», для построения достаточно на вертикали, проходящей через узел 6 отложить «-1». Вырезая узел «6», мы рассекаем две смежные панели, а именно: панель 4-6 и панель 6-7 в пределах рассеченных панелей строим две передаточные прямые.

Выясним, изменится ли построенная линия влияния в стойке 5-6 при перемене уровня езды. Итак, сила перемещается по нижнему поясу, выявляя закон изменения усилия, вырезаем узел 6 и понимаем, что при перемещении силы по нижнему поясу сила находится вне узла 6.

Если сила находится вне узла 6, рассмотрим равновесие узла 6:

Таким образом, линия влияния усилия в стойке при езде понизу – нулевая.N

На рисунке: верхняя линия влияния соответствует перемещению силы

по верхнему поясу, нижняя линия влияния соответствует перемещению силы

по нижнему поясу.

Нетрудно заметить, что линии влияния, а мы рассмотрели уже построение линий влияния в четырех стержнях требуют индивидуального подхода, с накоплением некоторого опыта Вы несомненно выявите некоторые закономерности и общности в построении линий влияния в стержнях различных групп: стержнях поясов, стоек, раскосов.

Сделаем на основании выше изложенного некоторые

выводы о свойствах линий влияния в фермах:

1. Прежде чем строить линию влияния усилия в стержне- л.в.N_i –необходимо выявить аналитически закон изменения усилия в заданном стержне N_i.

2. В простой балочной ферме построение линий влияния начинают с построения линий влиянии опорных реакций. В консольной балочной ферме линии влияния опорных реакций можно не строить.

3. Если при аналитическом выявлении закона изменения усилия используется метод сечений, линия влияния состоит из трех частей: 1) левой ветви л.в.N_i –слева от рассеченной панели (при силе , 2) правой ветви л.в.N_i - справа от рассеченной панели (при силе , и 3) передаточной (переходной) линии - в пределах рассеченной панели.

4. Ветви линий влияния всегда пересекаются под моментной точкой.

5. Если моментная точка совпадает с крайней точкой рассеченной панели, то передаточная прямая является продолжением одной из ветвей л.в.N_i.

6. Если крайние точки рассеченных панелей по верхнему и нижнему поясу не лежат на одних вертикалях, то л.в.N_i при перемене уровня езды будут отличаться положением передаточной прямой. При перемене уровня езды изменение л.в.N_i происходит в пределах рассеченной панели.

7. Если крайние точки рассеченных панелей по верхнему и нижнему поясу лежат на одних вертикалях, то л.в.N_i при перемене уровня езды не меняется.

Общий порядок расчета и построения линии влияния в стержнях фермы для наглядности представим в виде блок-схемы:

	Построение усилий в стержнях простой балочной фермы
	В простой балочной ферме строим линии влияния опорных реакций как в простой балке. В консольной балочной ферме построения линий влияния опорных реакций не требуется
Выбираем метод аналитического выявления закона изменения усилия в рассматриваемом стержне
Методом сечения, способом моментной точки		Методом сечения, способом моментной точки	Методом Вырезания узла
Рассматривается возможное положение единичной силы
Сила слева от рассеченной панели Границы рассеченной панели определяются по грузовому поясу, т.е. по тому поясу фермы, по которому рассматривается перемещение силы			Сила вне узла
Составляем уравнение статического равновесия åМ_к^лев=0 (или åМ_к^прав=0), выявляем закон изменения усилия л.в.N_i и строим левую ветвь л.в.N_i слева от рассеченной панели		Составляем уравнение статического равновесия åY= 0 (или åX=0), выявляем закон изменения усилия л.в.N_i и строим левую ветвь л.в.N_i слева от рассеченной панели	Составляем уравнение статического равновесия всех сил, приложенных к узлу åY= 0 (или åX=0), выявляем закон изменения усилия л.в.N_i и строим часть линии влияния вне пределов двух рассеченных круговым сечением панелей л.в.N_i
Сила справа от рассеченной панели			Сила в узле
Составляем уравнение статического равновесия åМ_к^лев=0 (или åМ_к^прав=0), выявляем закон изменения усилия л.в.N_i и строим правую ветвь л.в.N_i справа от рассеченной панели		Составляем уравнение статического равновесия åY= 0 (или åX=0), выявляем закон изменения усилия л.в.N_i и строим правую ветвь л.в.N_i справа от рассеченной панели	Составляем уравнение статического равновесия всех сил, приложенных к узлу åY= 0 (или åX=0), определяем ординату л.в.N_i в рассматриваемом узле и откладываем ее на л.в.N_i под рассматриваемым узлом
В пределах рассеченной панели соединяем прямой крайние ординаты построенных левой и правой ветвей и таким образом строим передаточную линию.			В пределах двух рассеченных панелей строим две передаточные прямые
Построение линии влияния закончено, поздравляю!