Принцип неопределённости Гейзенберга

Чрезвычайно важной является связь между разбросом по импульсу и разбросом по координате, играющая фундаментальную роль в описании частиц в состоянии суперпозиции. Когда разброс по импульсу (∆ p  ) велик, вдоль оси x   распределено множество волн (см. рис. 6.1), которые вместе образуют волновой пакет. Эти волны имеют различную длину (см. рис. 6.2). Когда интерферирует множество волн в широком диапазоне длин, область конструктивной интерференции очень быстро заканчивается с удалением от места, где она максимальна (см. рис. 6.3 и 6.4). Это означает, что разброс по координате (∆ x  ) мал. Если же волновой пакет состоит лишь из небольшого спектра импульсных волн (значение ∆ p   мало́), область конструктивной интерференции тянется в пространстве гораздо дальше от точки максимума пространственного распределения (см. рис. 6.7). Соответственно величина разброса, или неопределённости положения (∆ x  ), оказывается большой. Всё это происходит в силу того, что волновые функции, которые описывают собственные значения импульсов, являются по своей природе волнами амплитуды вероятности. Местоположением волнового пакета можно в каком-то смысле считать область конструктивной интерференции, а в областях существенной деструктивной интерференции вероятность обнаружить частицу очень мала.

Формальное соотношение между разбросом по импульсу и разбросом по координате, то есть между ∆ p   и ∆ x  , называется принципом неопределённости Гейзенберга. Вернер Карл Гейзенберг (1901–1976) получил Нобелевскую премию по физике в 1932 году

«за создание квантовой механики, приложения которой, в числе прочего, привели к открытию аллотропных форм водорода».

Принцип неопределённости Гейзенберга выражается простым математическим соотношением: ∆ x  ∙∆ p  ≥ h  /4π, где h   — постоянная Планка, а ∆ x   и ∆ p   задают ширину распределений координаты и импульса, как показано на рис. 6.7. (Символ ≥ означает «больше или равно».) Какой будет знак — «равно» (=) или «больше» (>), — зависит от формы распределений вероятности. Знак «равно» соответствует гауссовой кривой, названной так в честь великого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Кривые, изображённые на рис. 6.5–6.7, представляют собой гауссовы кривые. Это стандартные «колоколообразные кривые», которые описывают такие распределения, как, например, число баллов, полученных на экзамене, при правильно подготовленном тесте и достаточном числе людей, которые его сдают. Кривые Гаусса часто встречаются в физике. Знак «больше» применим при других формах распределения. Для любой формы кривой, построенной по конкретному распределению волн, можно определить, каким будет произведение ∆ x  ∙∆ p  , но оно всегда > h  /4π, если только кривая не является гауссовой.

Для понимания природы принципа неопределённости важно рассмотреть случай гауссовых кривых, подобных тем, что изображены на рис. 6.7. В этом случае ∆ x  ∙∆ p  = h  /4π. Данное уравнение показывает, какая информация может быть одновременно известна о положении и импульсе частицы. Величина h /4π является константой. Таким образом, произведение ∆ x  ∙∆ p   равно константе. Следовательно, если неопределённость импульса ∆ p   велика, то неопределённость положения ∆ x   должна быть мала, чтобы их произведение составляло h  /4π. С другой стороны, если значение ∆ p   мало́, то значение ∆ x   — велико.

Связь между ∆ p   и ∆ x   проиллюстрирована на рис. 6.7. Принцип неопределённости гласит, что вы можете знать кое-что об импульсе частицы и кое-что о её положении, но вы не можете точно знать и положение, и импульс частицы в одно и то же время. Эта неопределённость — невозможность одновременно знать и положение, и импульс частицы — резко контрастирует с классической механикой. Для классической теории совершенно принципиально то, что, как показано на рис. 2.5, положение и импульс частицы могут быть точно известны (измерены) одновременно. Квантовая теория утверждает, что невозможно одновременно точно знать положение и импульс. Они могут быть известны лишь с некоторыми неопределённостями — ∆ x   и ∆ p  .

Анализируя соотношение для принципа неопределённости ∆ x  ∙∆ p  = h  /4π, рассмотрим, что случится, если делать ∆ p   всё меньше и меньше. Разделив обе части уравнения на ∆ p  , получаем:

∆ x  = h  /4π∙∆ p  .

Поскольку ∆ p   уменьшается, делитель становится всё меньше и меньше, а значит, ∆ x   возрастает. В пределе, когда ∆ p   устремляется к нулю, ∆ x   стремится к бесконечности. Этот предел имеет глубокий смысл. Если ∆ p   обращается в нуль, импульс известен совершенно точно, но положение становится совершенно неопределённым. При ∆ x  =∞ частицу можно с равной вероятностью обнаружить где угодно.

Этот результат согласуется с тем, что мы выяснили, обсуждая рис. 6.1, на котором показан вид волновой функции для собственных значений импульса. Когда частица находится в собственном состоянии импульса, значение её импульса определено совершенно точно. Однако её функция амплитуды вероятности, которая описывает вероятность обнаружить частицу в некоторой области пространства, размазана (делокализована) по всему пространству. Во всех точках вероятность обнаружить частицу одинакова: ∆ x  =∞. Это контрастирует с волновыми пакетами, изображёнными на рис. 6.7, где суперпозиция собственных состояний импульса порождает состояние, в котором больше нет идеально точно определённого импульса, но зато имеется некоторая информация о положении. Положение и импульс известны с точностью до их неопределённости.

Можно преобразовать соотношение для неопределённостей следующим образом:

∆ p  = h  /4π∙∆ x  .

Отсюда видно, что в пределе, когда ∆ x   стремится к нулю (идеально точно определённое положение), ∆ p   стремится к бесконечности. Если нам совершенно точно известно положение, импульс может иметь любое значение. Волновой пакет, составленный из всех собственных значений импульса (∆ p  =∞), имеет совершенно точно определённое положение. Можно точно узнать p  , но лишь ничего не зная об x  ; можно точно узнать x  , но лишь ничего не зная о p  . Это называется дополнительностью. Можно узнать x   или p  , но не то и другое одновременно.

В классической механике можно знать x    И p  . В квантовой механике можно знать x    ИЛИ p  . В общем случае для квантовых — абсолютно малых — частиц можно узнать кое-что о p   и кое-что об x  , но невозможно узнать точно то и другое одновременно.