2020-09-24
159
Построить линии приёмки и браковки, принимая во внимание, что вероятность отказа подчиняется экспоненциальному закону для исходных данных в табл. 6.1. Величина m 0 приведена для контроля правильности расчётов. Таблица 6.1.
Содержание отчёта
1. Название расчёта, задача и номер варианта;
2. Расчётные формулы с пояснительным текстом;
3. Расчётные формулы с численными значениями;
4. Выводы по работе.
Таблица 6.1
Исходные данные для экспоненциального закона
| № | T 0/ T 1 | α | β | m 0 |
| 1. | 1,3 | 0,1 | 0,1 | 46 |
| 2. | 1,4 | 0,1 | 0,1 | 28 |
| 3. | 1,5 | 0,1 | 0,1 | 19 |
| 4. | 1,6 | 0,1 | 0,1 | 14 |
| 5. | 1,7 | 0,1 | 0,1 | 10 |
| 6. | 1,8 | 0,1 | 0,1 | 8 |
| 7. | 1,9 | 0,1 | 0,1 | 7 |
| 8. | 2,0 | 0,1 | 0,1 | 6 |
| 9. | 1,1 | 0,05 | 0,1 | 425 |
| 10. | 1,2 | 0,05 | 0,1 | 112 |
| 11. | 1,3 | 0,05 | 0,1 | 53 |
| 12. | 1,4 | 0,05 | 0,1 | 31 |
| 13. | 1,5 | 0,05 | 0,1 | 21 |
| 14. | 1,6 | 0,05 | 0,1 | 15 |
| 15. | 1,7 | 0,05 | 0,1 | 12 |
| 16. | 1,8 | 0,05 | 0,1 | 9 |
| 17. | 1,9 | 0,05 | 0,1 | 7 |
| 18. | 2,0 | 0,05 | 0,1 | 6 |
| 19. | 1,1 | 0,1 | 0,05 | 565 |
| 20. | 1,2 | 0,1 | 0,05 | 150 |
| 21. | 1,3 | 0,1 | 0,05 | 70 |
| 22. | 1,4 | 0,1 | 0,05 | 37 |
| 23. | 1,5 | 0,1 | 0,05 | 28 |
| 24. | 1,6 | 0,1 | 0,05 | 20 |
| 25. | 1,7 | 0,1 | 0,05 | 14 |
| 26. | 1,8 | 0,1 | 0,05 | 13 |
| 27. | 1,9 | 0,1 | 0,05 | 10 |
| 28. | 2,0 | 0,1 | 0,05 | 9 |
| 29. | 1,1 | 0,05 | 0,05 | 506 |
| 30. | 1,2 | 0,05 | 0,05 | 134 |
| 31. | 1,3 | 0,05 | 0,05 | 63 |
| 32. | 1,4 | 0,05 | 0,05 | 37 |
| 33. | 1,5 | 0,05 | 0,05 | 25 |
| 34. | 1,6 | 0,05 | 0,05 | 18 |
| 35. | 1,7 | 0,05 | 0,05 | 14 |
| 36. | 1,8 | 0,05 | 0,05 | 11 |
|
|
|
7 Планирование испытаний
для распределения Пуассона
Во многих задачах практики часто приходится встречаться со случайными величинами, которые в процессе испытаний принимают целые неотрицательные числа 0, 1, 2, …, m, причём последовательность этих чисел теоретически неограниченна. Случайная величина X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определённое значение m, выражается формулой [11, 14]
 ,
| (7.1) |
где a – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона, является как математическим ожиданием, так и дисперсией закона.
Это свойство распределения Пуассона частот применяют на практике для решения вопроса: правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина X распределена по закону Пуассона.
Рассмотрим один пример использования распределения Пуассона. Пусть в ремонтную мастерскую поступают заявки со средней плотностью 5 штук в течение рабочей смены за 10 ч. Считая, что число заявок на любом отрезке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за 2 ч рабочей смены поступит 2 заявки. Решение задачи сводится к следующему. Определяем среднее число заявок за 2 часа: а =2·5/10=1. Применяя формулу (7.1), найдём вероятность поступления двух заявок:
|
Таким образом, с вероятностью 0,184 за 2 часа работы поступит 2 заявки.
Планирование испытаний методом последовательного анализа для закона Пуассона при двух заданных уровнях показателя надёжности осуществляют путём использования соотношений, выведенных исходя из записанного для этого закона логарифма отношения правдоподобия [13] (при a = q)
|
|
|
 .
| (7.2) |
После логарифмирования получим:
 ,
| (7.3) |
где q 1= λ 1 t; q 0= λ 0 t; q 1> q 0.
Тогда условием прекращения испытаний является выполнение неравенств:
 ,
| (7.4) |
т.е. если выполняется данное условие после n испытаний, то гипотезу H 0 отклоняют, так как интенсивность отказов больше допустимого значения λ 0;
если выполняется следующее условие после n испытаний:
 ,
| (7.5) |
то гипотезу H 0 принимают, поскольку интенсивность отказов меньше или равно допустимому значению λ 0.
Обозначим 
, 
и преобразуем (7.4), (7.5):
 ,
| (7.6) |
 .
| (7.7) |
Для определения среднего объёма испытаний в первом приближении можно принять вместо закона распределения Пуассона биномиальное распределение с параметром q = λt. Тогда среднее число периодов работы изделия для подтверждения интенсивности отказов λ 0 определяют по следующей формуле [11, 14]:
 .
| (7.8) |
Каждый период работы изделия соответствует длительности t, а суммарное время испытаний будет равно:
 .
| (7.9) |
Аналогично среднее число периодов работы изделия для подтверждения интенсивности отказов находится из соотношения
 ,
| (7.10) |
а суммарное время испытаний соответственно составляет
 .
| (7.11) |
Пример
Задача. Построить линии приёмки и браковки, принимая во внимание, что вероятность отказа подчиняется закону Пуассона при следующих исходных данных: длительность работы устройства за один цикл t = 150 ч; α = β =0,1; λ 1=2,5·10-3 1/ч; λ 0=1,25·10-3 1/ч [11, 14].
Определить среднюю продолжительность испытаний для подтверждения интенсивности отказов λ 0.
Решение. Для построения линий браковки и приёмки (рис. 7.1) воспользуемся формулами (7.6) и (7.7), где q 1= λ 1 t; q 0= λ 0 t: Рис. 7.1
Рис. 7.1. Графики линий приёмки (––) и браковки (- - -) для распределения Пуассона при t = 150 ч; α = β =0,1; λ 1=2,5·10-3 1/ч; λ 0=1,25·10-3 1/ч. Получены предельные величины n 0=22, n 1=19.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение закону Пуассона.
2. Поясните условия прекращения испытаний для гипотезы H 0.
3. Поясните условия прекращения испытаний для гипотезы H 1.
