Нормативные документы

ГЕОМЕТРИЯ

Сборник
примерных рабочих
программ

7—9 классы

Учебное пособие
для общеобразовательных
организаций

6-е издание

Москва
Просвещение
2020

УДК 37.091.214:514

ББК 74.262.21

Г36

Составитель: Т. А. Бурмистрова

Геометрия. Сборник примерных рабочих программ. 7—9 клас- Г36 сы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций / [сост. Т. А. Бур­мистрова]. — 6-е изд. — М.: Просвещение, 2020. — 94 с. — ISBN 978­5-09-076510-7.

Рабочие программы основного общего образования по геометрии содержат следующие разделы: пояснительную записку; особенности содержания математиче­ского образования на этой ступени; место геометрии в Базисном учебном (обра­зовательном) плане; требования к результатам обучения и освоения содержания курса; содержание курса по основным линиям; примерное тематическое планиро­вание с описанием видов учебной деятельности учащихся 7—9 классов и указани­ем примерного числа часов на изучение соответствующего материала; рекоменда­ции по оснащению учебного процесса.

Программы адресованы учителям, работающим по УМК авторов А. Д. Алек­сандрова и др., Л. С. Атанасяна и др., В. Ф. Бутузова и др., А. В. Погорелова.

УДК 37.091.214:514

ББК 74.262.21

© Издательство «Просвещение», 2011

© Издательство «Просвещение», 2017, с изменениями

© Художественное оформление.

Издательство «Просвещение», 2011, 2019 Все права защищены

Пояснительная заПиска

Рабочие программы основного общего образования по геометрии составлены на основе Фундаментального ядра содержания общего об­разования и Требований к результатам освоения основной общеобра­зовательной программы основного общего образования, представлен­ных в Федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования. В них также учитываются основные идеи и положения Программы развития и формирования универсаль­ных учебных действий для основного общего образования.

Овладение учащимися системой геометрических знаний и умений необходимо в повседневной жизни, для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Практическая значимость школьного курса геометрии обусловлена тем, что его объектом являются пространственные формы и количе­ственные отношения действительного мира. Геометрическая подготовка необходима для понимания принципов устройства и использования со­временной техники, восприятия научных и технических понятий и идей. Математика является языком науки и техники. С её помощью моделируются и изучаются явления и процессы, происходящие в при­роде.

Геометрия является одним из опорных предметов основной школы: она обеспечивает изучение других дисциплин. В первую очередь это от­носится к предметам естественно-научного цикла, в частности к физике. Развитие логического мышления учащихся при обучении геометрии спо­собствует усвоению предметов гуманитарного цикла. Практические уме­ния и навыки геометрического характера необходимы для трудовой дея­тельности и профессиональной подготовки школьников.

Развитие у учащихся правильных представлений о сущности и про­исхождении геометрических абстракций, соотношении реального и иде­ального, характере отражения математической наукой явлений и про­цессов реального мира, месте геометрии в системе наук и роли математического моделирования в научном познании и в практике спо­собствует формированию научного мировоззрения учащихся, а также качеств мышления, необходимых для адаптации в современном инфор­мационном обществе.

Требуя от учащихся умственных и волевых усилий, концентрации внимания, активности развитого воображения, геометрия развивает нравственные черты личности (настойчивость, целеустремлённость, творческую активность, самостоятельность, ответственность, трудолю­бие, дисциплину и критичность мышления) и умение аргументирован­но отстаивать свои взгляды и убеждения, а также способность прини­мать самостоятельные решения.

Геометрия существенно расширяет кругозор учащихся, знакомя их с индукцией и дедукцией, обобщением и конкретизацией, анализом и синтезом, классификацией и систематизацией, абстрагированием, ана­логией. Активное использование задач на всех этапах учебного процес­са развивает творческие способности школьников.

При обучении геометрии формируются умения и навыки умствен­ного труда — планирование своей работы, поиск рациональных путей её выполнения, критическая оценка результатов. В процессе обучения геометрии школьники должны научиться излагать свои мысли ясно и исчерпывающе, лаконично и ёмко, приобрести навыки чёткого, акку­ратного и грамотного выполнения математических записей.

Важнейшей задачей школьного курса геометрии является развитие логического мышления учащихся. Сами объекты геометрических умо­заключений и принятые в геометрии правила их конструирования спо­собствуют формированию умений обосновывать и доказывать сужде­ния, приводить чёткие определения, развивают логическую интуицию, кратко и наглядно вскрывают механизм логических построений и учат их применению. Тем самым геометрия занимает ведущее место в фор­мировании научно-теоретического мышления школьников. Раскрывая внутреннюю гармонию математики, формируя понимание красоты и изящества математических рассуждений, способствуя восприятию гео­метрических форм, усвоению понятия симметрии, геометрия вносит значительный вклад в эстетическое воспитание учащихся. Её изучение развивает воображение школьников, существенно обогащает и развива­ет их пространственные представления.

Общая характеристика курса

В курсе условно можно выделить следующие содержательные линии: «Наглядная геометрия», «Геометрические фигуры», «Измерение геоме­трических величин», «Координаты», «Векторы», «Логика и множества», «Геометрия в историческом развитии».

Материал, относящийся к линии «Наглядная геометрия» (элементы наглядной стереометрии), способствует развитию пространственных представлений учащихся в рамках изучения планиметрии.

Содержание разделов «Геометрические фигуры» и «Измерение гео­метрических величин» нацелено на получение конкретных знаний о гео­
метрической фигуре как важнейшей математической модели для описа­ния окружающего мира. Систематическое изучение свойств геометриче­ских фигур позволит развить логическое мышление и показать применение этих свойств при решении задач вычислительного и кон­структивного характера, а также практических.

Материал, относящийся к содержательным линиям «Координаты» и «Векторы», в значительной степени несёт в себе межпредметные зна­ния, которые находят применение как в различных математических дис­циплинах, так и в смежных предметах.

Особенностью линии «Логика и множества» является то, что пред­ставленный здесь материал преимущественно изучается при рассмотре­нии различных вопросов курса. Соответствующий материал нацелен на математическое развитие учащихся, формирование у них умения точно, сжато и ясно излагать мысли в устной и письменной речи.

Линия «Геометрия в историческом развитии» предназначена для формирования представлений о геометрии как части человеческой куль­туры, для общего развития школьников, для создания культурно-исто­рической среды обучения.

Место предмета в учебном плане

Базисный учебный (образовательный) план на изучение геометрии в основной школе отводит 2 учебных часа в неделю в течение каждого года обучения, всего 210 уроков на базовом уровне и 3 часа в неделю на углублённом уровне, всего 305 уроков.

ПланиРУеМЫе РезУльтатЫ осВоения
кУРса ГеоМетРии В 7—9 классаХ

Для обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом и углублённом (выделено курсивом) уровнях выпускник по­лучит возможность научиться в 7 — 9 классах:

Геометрические фигуры

• Оперировать^[1] понятиями геометрических фигур;

• извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

• применять для решения задач геометрические факты, если условия их применения заданы в явной форме, а также предполагается не­сколько шагов решения;

• решать задачи на нахождение геометрических величин по образ­цам или алгоритмам;

• формулировать свойства и признаки фигур;

• доказывать геометрические утверждения;

• владеть стандартной классификацией плоских фигур (тре­угольников и четырёхугольников).

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать свойства геометрических фигур для решения типо­вых задач, возникающих в ситуациях повседневной жизни, задач прак­тического содержания;

• использовать свойства геометрических фигур для решения за­дач практического характера и задач из смежных дисциплин.

Отношения

• Оперировать понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равен­ство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность пря­мых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция, по­добие фигур, подобные фигуры, подобные треугольники;

• применять теорему Фалеса и теорему о пропорциональных от­резках при решении задач;

• характеризовать взаимное расположение прямой и окружно­сти, двух окружностей.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать отношения для решения задач, возникающих в ре­альной жизни.

Измерения и вычисления

Геометрические построения

• Изображать типовые плоские фигуры и фигуры в пространстве от руки и с помощью инструментов;

• изображать геометрические фигуры по текстовому и символь­ному описанию;

• свободно оперировать чертёжными инструментами в неслож­ных случаях;

• выполнять построения треугольников, применять отдельные методы построений циркулем и линейкой и проводить простейшие исследования числа решений;

• изображать типовые плоские фигуры и объёмные тела с по­мощью простейших компьютерных инструментов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни;

• оценивать размеры реальных объектов окружающего мира.

Преобразования

• Строить фигуру, симметричную данной фигуре относительно оси и точки;

• оперировать понятием движения и преобразования подобия, владеть приёмами построения фигур с использованием движений и преобразований подобия, применять полученные знания и опыт по­строений в смежных предметах и в реальных ситуациях окружаю­щего мира;

• строить фигуру, подобную данной, пользоваться свойствами подобия для обоснования свойств фигур;

• применять свойства движений для проведения простейших об­оснований свойств фигур.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• распознавать движение объектов в окружающем мире;

• распознавать симметричные фигуры в окружающем мире;

• применять свойства движений и применять подобие для по­строений и вычислений.

Векторы и координаты на плоскости

• определять приближённо координаты точки по её изображению на координатной плоскости;

• выполнять действия над векторами (сложение, вычитание, умно­жение на число), вычислять скалярное произведение векторов, опре­делять в простейших случаях угол между векторами, выполнять разложение вектора на составляющие, применять полученные зна­ния в физике, пользоваться формулой вычисления расстояния между точками по известным координатам, использовать уравнения фигур для решения задач;

• применять векторы и координаты для решения геомет рических задач на вычисление длин, углов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать векторы для решения простейших задач на опреде­ление скорости относительного движения;

• использовать понятия векторов и координат для решения за­дач по физике, географии и другим учебным предметам.

История математики

• Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки;

• знать примеры математических открытий и их авторов в связи с отечественной и всемирной историей;

• понимать роль математики в развитии России;

• характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей.

Методы математики

соДеРЖание кУРса ГеоМетРии

В 7—9 классаХ

(Содержание, выделенное курсивом,
изучается на углублённом уровне)

Геометрические фигуры

Отношения

Равенство фигур. Свойства равных треугольников. Признаки ра­венства треугольников.

Параллельность прямых. Признаки и свойства параллельных пря­мых. Аксиома параллельности Евклида. Теорема Фалеса.

Перпендикулярные прямые. Прямой угол. Перпендикуляр к пря­мой. Наклонная, проекция. Серединный перпендикуляр к отрезку. Свойства и признаки перпендикулярности.

Подобие. Пропорциональные отрезки, подобие фигур. Подобные треугольники. Признаки подобия.

Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.

Измерения и вычисления

Величины. Понятие величины. Длина. Измерение длины. Единицы измерения длины. Величина угла. Градусная мера угла. Понятие о пло­щади плоской фигуры и её свойствах. Измерение площадей. Единицы измерения площади. Представление об объёме и его свойствах. Измерение объёма. Единицы измерения объёмов.

Измерения и вычисления. Инструменты для измерений и постро­ений; измерение и вычисление углов, длин (расстояний), площадей. Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треуголь­нике. Тригонометрические функции тупого угла. Вычисление элемен­тов треугольников с использованием тригонометрических соотношений. Формулы площади треугольника, параллелограмма и его частных видов, формулы длины окружности и площади круга. Сравнение и вычисление площадей. Теорема Пифагора. Теорема синусов. Теорема косинусов.

Расстояния. Расстояние между точками. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между фигурами.

Геометрические построения. Геометрические построения для ил­люстрации свойств геометрических фигур. Инструменты для построе­ний: циркуль, линейка, угольник. Простейшие построения циркулем и линейкой: построение биссектрисы угла, перпендикуляра к прямой, угла, равного данному. Построение треугольников по трём сторо­нам, двум сторонам и углу между ними, стороне и двум прилежа­щим к ней углам. Деление отрезка в данном отношении.

Геометрические преобразования

Векторы и координаты на плоскости

Векторы. Понятие вектора, действия над векторами, использование векторов в физике, разложение вектора на составляющие, скалярное произведение векторов.

Координаты. Основные понятия, координаты вектора, расстоя­ние между точками. Координаты середины отрезка. Уравнения фи­гур. Применение векторов и координат для решения простейших геометрических задач.

История математики

ПРиМеРное теМатическое ПланиРоВание

Тематическое планирование реализует один из возможных подходов к распределению изучаемого материала по учебно-методическому ком­плекту, не носит обязательного характера и не исключает возможностей иного распределения содержания.

В примерном тематическом планировании разделы основного содер­жания курса геометрии разбиты на темы в хронологии их изучения по соответствующим учебникам.

Особенностью примерного тематического планирования является то, что в нём содержится описание возможных видов деятельности учащихся в процессе усвоения соответствующего содержания, направ­ленных на достижение поставленных целей обучения. Это ориентиру­ет учителя на усиление деятельностного подхода в обучении, на организацию разнообразной учебной деятельности, отвечающей совре­менным психолого-педагогическим воззрениям, на использование со­временных технологий.

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.
«Геометрия. 7—9 классы»

Номер пара­графа	Содержание материала	Коли­чество часов	Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
7 класс
Глава 1. Начальные геометрические сведения		10	Объяснять, что такое отрезок, луч, угол, какие фи­гуры называются равными, как сравниваются и измеряются отрезки и углы, что такое градус и градусная мера угла, какой угол называется пря­мым, тупым, острым, развёрнутым, что такое се­редина отрезка и биссектриса угла, какие углы называются смежными и какие — вертикальными; формулировать и обосновывать утверждения о свойствах смежных и вертикальных углов; объ­яснять, какие прямые называются перпендикуляр­ными; формулировать и обосновывать утвержде­ние о свойстве двух прямых, перпендикулярных к третьей; изображать и распознавать указанные простейшие фигуры на чертежах; решать задачи, связанные с этими простейшими фигурами
1, 2 3 4, 5 6	Прямая и отрезок. Луч и угол Сравнение отрезков и углов Измерение отрезков. Измерение углов Перпендикулярные прямые Решение задач Контрольная работа № 1	2 1 3 2 1 1
Глава II. Треугольники		17	Объяснять, какая фигура называется треугольни- ком, что такое вершины, стороны, углы и пери­метр треугольника, какой треугольник называется равнобедренным и какой — равносторонним, ка­кие треугольники называются равными; изобра­жать и распознавать на чертежах треугольники и их элементы; формулировать и доказывать теоре­мы о признаках равенства треугольников; объяс-
1 2	Первый признак равенства треугольников Медианы, биссектрисы и вы­соты треугольника	СО со

 

3 4	Второй и третий признаки ра­венства треугольников Задачи на построение Решение задач Контрольная работа № 2	4 3 3 1	нять, что называется перпендикуляром, проведён­ным из данной точки к данной прямой; формули­ровать и доказывать теорему о перпендикуляре к прямой; объяснять, какие отрезки называются медианой, биссектрисой и высотой треугольника; формулировать и доказывать теоремы о свойствах равнобедренного треугольника; решать задачи, связанные с признаками равенства треугольников и свойствами равнобедренного треугольника; фор­мулировать определение окружности; объяснять, что такое центр, радиус, хорда и диаметр окруж­ности; решать простейшие задачи на построение (построение угла, равного данному, построение биссектрисы угла, построение перпендикулярных прямых, построение середины отрезка) и более сложные задачи, использующие указанные про­стейшие; сопоставлять полученный результат с ус­ловием задачи; анализировать возможные случаи
Глава III. Параллельные прямые		13	Формулировать определение параллельных пря- мых; объяснять с помощью рисунка, какие углы, образованные при пересечении двух прямых секу­щей, называются накрест лежащими, какие — од­носторонними и какие — соответственными; фор­мулировать и доказывать теоремы, выражающие признаки параллельности двух прямых; объяснять, что такое аксиомы геометрии и какие аксиомы уже использовались ранее; формулировать аксио­му параллельных прямых и выводить следствия из неё; формулировать и доказывать теоремы о свой­ствах параллельных прямых, обратные теоремам о признаках параллельности, связанных с накрест лежащими, соответственными и односторонними углами, в связи с этим объяснять, что такое
1 2	Признаки                   параллельности двух прямых Аксиома параллельных пря­мых Решение задач Контрольная работа № 3	4 5 3 1

СП

О)

Номер пара­графа	Содержание материала	Коли­чество часов	Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
			условие и заключение теоремы, какая теорема называется обратной по отношению к данной теореме; объяснять, в чём заключается метод до­казательства от противного: формулировать и до­казывать теоремы об углах с соответственно па­раллельными и перпендикулярными сторонами; приводить примеры использования этого метода; решать задачи на вычисление, доказательство и построение, связанные с параллельными прямыми
Глава IV. Соотношения между сторо­нами и углами треугольника		18	Формулировать и доказывать теорему о сумме углов треугольника и её следствие о внешнем угле треугольника, проводить классификацию тре­угольников по углам; формулировать и доказы­вать теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника (прямое и обратное утверж­дения) и следствия из неё, теорему о неравен­стве треугольника; формулировать и доказывать теоремы о свойствах прямоугольных треугольни­ков (прямоугольный треугольник с углом 30°, при­знаки равенства прямоугольных треугольников); формулировать определения расстояния от точки до прямой, расстояния между параллельными прямыми; решать задачи на вычисления, доказа­тельство и построение, связанные с соотноше­ниями между сторонами и углами треугольника и расстоянием между параллельными прямыми, при необходимости проводить по ходу решения
1 2 3 4	Сумма углов треугольника Соотношения между сторо­нами и углами треугольника Контрольная работа № 4 Прямоугольные треугольники Построение треугольника по трём элементам Решение задач Контрольная работа № 5	2 3 1 4 4 3 1

 

			дополнительные построения, сопоставлять полу­ченный результат с условием задачи, в задачах на построение исследовать возможные случаи
Повторение. Решение задач		10
8 класс
Глава V. Четырёхугольники		14	Объяснять, что такое ломаная, многоугольник, его вершины, смежные стороны, диагонали, изобра­жать и распознавать многоугольники на чертежах; показывать элементы многоугольника, его вну­треннюю и внешнюю области; формулировать определение выпуклого многоугольника; изобра­жать и распознавать выпуклые и невыпуклые мно­гоугольники; формулировать и доказывать утверж­дения о сумме углов выпуклого многоугольника и сумме его внешних углов; объяснять, какие сторо­ны (вершины) четырёхугольника называются про­тивоположными; формулировать определения па­раллелограмма, трапеции, равнобедренной и пря­моугольной трапеций, прямоугольника, ромба, квадрата; изображать и распознавать эти четырёх­угольники; формулировать и доказывать утверж­дения об их свойствах и признаках; решать задачи на вычисление, доказательство и построение, свя­занные с этими видами четырёхугольников; объ­яснять, какие две точки называются симметричны­ми относительно прямой (точки), в каком случае фигура называется симметричной относительно прямой (точки) и что такое ось (центр) симметрии фигуры; приводить примеры фигур, обладающих осевой (центральной) симметрией, а также приме­ры осевой и центральной симметрий в окружаю­щей нас обстановке
1 2 3	Многоугольники Параллелограмм и трапеция Прямоугольник, ромб, ква­драт Решение задач Контрольная работа № 1	2 6 4 1 1

С»

Номер пара­графа	Содержание материала	Коли­чество часов	Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
Глава VI	Площадь	14	Объяснять, как производится измерение площа-
1	Площадь многоугольника		дей многоугольников, какие многоугольники на-
		2	зываются равновеликими и какие — равносостав-
2	Площади параллелограмма,	6	ленными; формулировать основные свойства
	треугольника и трапеции		площадей и выводить с их помощью формулы
3	Теорема Пифагора	3	площадей прямоугольника, параллелограмма,
	Решение задач	2	треугольника, трапеции; формулировать и дока-
	Контрольная работа № 2	1	зывать теорему об отношении площадей тре­угольников, имеющих по равному углу; формули­ровать и доказывать теорему Пифагора и обратную ей; выводить формулу Герона для площади тре­угольника; решать задачи на вычисление и дока­зательство, связанные с формулами площадей и теоремой Пифагора
Глава VI	. Подобные треугольники	19	Объяснять понятие пропорциональности отрез- ков; формулировать определения подобных тре-
1	Определение подобных тре-
		2	угольников и коэффициента подобия; формулиро-
	угольников		вать и доказывать теоремы: об отношении
2	Признаки подобия треуголь-	5	площадей подобных треугольников, о признаках
	ников		подобия треугольников, о средней линии тре-
	Контрольная работа № 3	1	угольника, о пересечении медиан треугольника,
3	Применение подобия к дока­зательству теорем и решению задач	7	о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике; объяснять, что такое метод подо­бия в задачах на построение, и приводить при­меры применения этого метода; объяснять, как
4	Соотношения между старо-	3	можно использовать свойства подобных треуголь-
	нами и углами прямоугольно-		ников в измерительных работах на местности;
	го треугольника		объяснять, как ввести понятие подобия для

 

 

	Контрольная работа № 4	1	произвольных фигур; формулировать определе­ния и иллюстрировать понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треуголь­ника; выводить основное тригонометрическое тождество и значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°; решать задачи, связанные с подобием треугольников, для вычисления зна­чений тригонометрических функций использовать компьютерные программы
Глава VIII	Окружность	17	Исследовать взаимное расположение прямой и окружности; формулировать определение каса- тельной к окружности; формулировать и доказы­вать теоремы: о свойстве касательной, о призна­ке касательной, об отрезках касательных, проведённых из одной точки; формулировать по­нятия центрального угла и градусной меры дуги окружности; формулировать и доказывать теоре­мы: о вписанном угле, о произведении отрезков пересекающихся хорд; формулировать и доказы­вать теоремы, связанные с замечательными точ­ками треугольника: о биссектрисе угла и, как следствие, о пересечении биссектрис тре­угольника; о серединном перпендикуляре к от­резку и, как следствие, о пересечении середин­ных перпендикуляров к сторонам треугольника; о пересечении высот треугольника; формулиро­вать определения окружностей, вписанной в мно­гоугольник и описанной около многоугольника; формулировать и доказывать теоремы: об окруж­ности, вписанной в треугольник; об окружности, описанной около треугольника; о свойстве сто­рон описанного четырёхугольника; о свойстве углов вписанного четырёхугольника; решать
1 2 3 4	Касательная к окружности Центральные и вписанные углы Четыре замечательные точки треугольника Вписанная и описанная окруж­ности Решение задач Контрольная работа № 5	3 4 3 4 2 1

 

Номер пара­графа	Содержание материала	Коли­чество часов	Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
			задачи на вычисление, доказательство и постро­ение, связанные с окружностью, вписанными и описанными треугольниками и четырёхугольни­ками; исследовать свойства конфигураций, свя­занных с окружностью, с помощью компьютерных программ
Повторение. Решение задач		4
9 класс
Глава IX. Векторы		8	Формулировать определения и иллюстрировать понятия вектора, его длины, коллинеарных и рав­ных векторов; мотивировать введение понятий и действий, связанных с векторами, соответствую­щими примерами, относящимися к физическим векторным величинам; применять векторы и дей­ствия над ними при решении геометрических за­дач
1 2 3	Понятие вектора Сложение и вычитание векто­ров Умножение вектора на число. Применение векторов к ре­шению задач	2 3 3
Глава X. Метод координат		10	Объяснять и иллюстрировать понятия прямо- угольной системы координат, координат точки и координат вектора; выводить и использовать при решении задач формулы координат середины от­резка, длины вектора, расстояния между двумя точками, уравнения окружности и прямой
1 2 3	Координаты вектора Простейшие задачи в коорди­натах Уравнения окружности и пря­мой Решение задач Контрольная работа № 1	2 2 3 2 1

 

Глава XI. Соотношения между сторо­нами и углами треугольника. Ска­лярное произведение векторов		11	Формулировать и иллюстрировать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов от 0 до 180°; выводить основное тригонометриче­ское тождество и формулы приведения; формули- ровать и доказывать теоремы синусов и косину­сов, применять их при решении треугольников; объяснять, как используются тригонометрические формулы в измерительных работах на местности; формулировать определения угла между вектора­ми и скалярного произведения векторов; выводить формулу скалярного произведения через коорди­наты векторов; формулировать и обосновывать утверждение о свойствах скалярного произведе­ния; использовать скалярное произведение век­торов при решении задач
1 2 3	Синус, косинус, тангенс, ко­тангенс угла Соотношения между сторо­нами и углами треугольника Скалярное произведение век­торов Решение задач Контрольная работа № 2	3 4 2 1 1
Глава XII. Длина окружности и пло­щадь круга		12	Формулировать определение правильного мно­гоугольника; формулировать и доказывать теоре­мы об окружностях, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него; выводить и использовать формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и ради­уса вписанной окружности; решать задачи на по­строение правильных многоугольников; объяснять понятия длины окружности и площади круга; выводить формулы для вычисления длины окруж­ности и длины дуги, площади круга и площа­ди кругового сектора; применять эти формулы при решении задач
1 2	Правильные многоугольники Длина окружности и площадь круга Решение задач Контрольная работа № 3	4 4 3 1
Глава XIII. Движения		8	Объяснять, что такое отображение плоскости на себя и в каком случае оно называется движе­нием плоскости; объяснять, что такое осевая симметрия, центральная симметрия, параллель­ный перенос и поворот; обосновывать, что эти
1 2	Понятие движения Параллельный перенос и по­ворот	СО со

1\3                                                                                                                                                                                                            Продолжение

ГО _____________________________________________________________________________________________________

Номер пара­графа	Содержание материала	Коли­чество часов	Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
	Решение задач Контрольная работа № 4	1 1	отображения плоскости на себя являются движе­ниями; объяснять, какова связь между движения­ми и наложениями; иллюстрировать основные виды движений, в том числе с помощью компью­терных программ
Глава XIV. Начальные сведения из стереометрии		8	Объяснять, что такое многогранник, его грани, рё­бра, вершины, диагонали, какой многогранник на- зывается выпуклым, что такое «-угольная призма, её основания, боковые грани и боковые рёбра, какая призма называется прямой и какая — на­клонной, что такое высота призмы, какая призма называется параллелепипедом и какой параллеле­пипед называется прямоугольным; формулировать и обосновывать утверждения о свойстве диагона­лей параллелепипеда и о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда; объяснять, что такое объём многогранника; выводить (с помощью принципа Кавапьери) формулу объёма прямоу­гольного параллелепипеда; объяснять, какой мно­гогранник называется пирамидой, что такое осно­вание, вершина, боковые грани, боковые рёбра и высота пирамиды, какая пирамида называется правильной, что такое апофема правильной пира­миды, приводить формулу объёма пирамиды; объ­яснять, какое тело называется цилиндром, что та­кое его ось, высота, основания, радиус, боковая поверхность, образующие, развёртка боковой
1 2	Многогранники Тела и поверхности вращения	4 4

1\0 00

поверхности, какими формулами выражаются объём и площадь боковой поверхности цилиндра; объяснять, какое тело называется конусом, что такое его ось, высота, основание, боковая по­верхность, образующие, развёртка боковой по­верхности, какими формулами выражаются объём конуса и площадь боковой поверхности; объяс­нять, какая поверхность называется сферой и ка­кое тело называется шаром, что такое радиус и диаметр сферы (шара), какими формулами выра­жаются объём шара и площадь сферы; изобра­жать и распознавать на рисунках призму, парал­лелепипед, пирамиду, цилиндр, конус, шар

Об аксиомах планиметрии	2
Повторение. Решение задач	9

 

 

А. В. Погорелов. «Геометрия. 7—9 классы»

Номер пункта	Содержание материала	Коли­чество часов	Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
7 класс
§ 1. Основные свойства простейших		16	Объяснять, что такое:
геометрических фигур			— отрезок, луч, угол, развёрнутый угол, биссек-
1—4	Геометрические фигуры.		триса угла;
		2	— треугольник, медиана, биссектриса и высота
	Точка и прямая. Отрезок.		треугольника;
	Измерение отрезков		— расстояние между точками;
5—7, 18	Полуплоскости.	5	— равные отрезки, углы, треугольники;
	Полупрямая. Угол. Биссек-		— параллельные прямые.
8	триса угла		Понимать, что такое:
	Откладывание отрезков и	2	— теорема и её доказательство;
	углов		— условие и заключение теоремы;
9, 25, 10	Треугольник. Высота, бис-	3	— аксиомы.
	сектриса и медиана тре­угольника. Существование		Формулировать основные свойства:
	треугольника, равного дан-		— принадлежности точек и прямых к плоскости;
	ному		— расположения точек на прямой;
11—13	Параллельные прямые. Тео-	3	— измерения углов; — откладывания отрезков и углов;
	ремы и доказательства. Аксиомы	1	— треугольника (существование треугольника, равного данному);
	Контрольная работа № 1		— параллельных прямых (аксиома параллельных
			прямых).
			Изображать, обозначать и распознавать на черте­жах изученные геометрические фигуры; иллю­стрировать их свойства

Объяснять, что такое:

— смежные и вертикальные углы;

— прямые, острые и тупые углы;

— перпендикулярные прямые и перпендикуляр. Изображать и распознавать на чертежах указан­ные фигуры.

Формулировать и доказывать теоремы о:

— сумме смежных углов;

— равенстве вертикальных углов;

— единственности прямой, перпендикулярной данной, проходящей через данную её точку.

Формулировать следствия из теорем о смежных и вертикальных углах.

Объяснять, в чём состоит доказательство от про­тивного.

Решать задачи, связанные с рассмотренными фи­гурами и их свойствами

 

ГО СП

§ 3. Признаки равенства треуголь­ников

20, 21 Первый признак равенства треугольников. Использование аксиом при доказательстве теорем 22, 23 Второй признак равенства треугольников. Равнобедренный треуголь­ник Контрольная работа № 3

14

Объяснять, что такое: — равнобедренный и равносторонний треуголь­ники; — обратная теорема. Формулировать и доказывать: — признаки равенства треугольников; — свойство углов равнобедренного треугольника; — признак равнобедренного треугольника; — свойство медианы равнобедренного треуголь­ника. Решать задачи, связанные с признаками равен­ства треугольников и свойствами равнобедренно­го треугольника

 

1\3 О)

Номер пункта		Содержание материала	Коли­чество часов	Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
24,	26	Обратная теорема. Свой­ство медианы равнобедрен-	3
		ного треугольника
27		Третий признак равенства	3
		треугольников Контрольная работа № 4	1
§4.	Сумма углов треугольника		12	Объяснять, что такое:
29,	30	Параллельность прямых.		— секущая,
			2	— односторонние, накрест лежащие и соответ-
		Углы, образованные при		ственные углы;
		пересечении двух прямых		— внешние и внутренние углы треугольника;
		секущей		— прямоугольный треугольник и его элементы
31,	32	Признак параллельности	3	(гипотенуза и катеты);
		прямых. Свойство углов,		— расстояние от точки до прямой и между
		образованных при Пересе-		параллельными прямыми.
		чении параллельных пря-		Формулировать и доказывать:
33,	34	мых секущей		— теорему о двух прямых, параллельных третьей;
		Сумма углов треугольника.	3	— признак параллельности прямых; формулиро-
		Внешние углы треугольника		вать следствия из него;
35,	36	Прямоугольный треуголь-	3	— свойство углов, образованных при пересечении
		ник. Существование и един-		параллельных прямых секущей; формулиро-
		ственность перпендикуляра к прямой Контрольная работа № 5	1	вать следствие из него;

			— теоремы о сумме углов треугольника и о внеш­нем его угле; формулировать следствие о срав­нении внешнего и внутренних углов; — признак равенства прямоугольных треугольни­ков по гипотенузе и катету; — существование и единственность перпендику­ляра к прямой. Решать задачи
§ 5. Геометрические построения		13	Объяснять, что такое:
38, 39	Окружность. Окружность,	2	касательная к окружности и точка касания;
	описанная около треуголь-		— описанная около треугольника окружность и
	ника		вписанная в него;
40, 41	Касательная к окружности.	2	— внутреннее и внешнее касание окружностей;
	Окружность,                вписанная		— серединный перпендикуляр;
	в треугольник		— геометрическое место точек.
42—44	Что такое задачи на по-	3	Формулировать и доказывать теоремы о:
	строение. Построение тре-		— центре окружности, описанной около треуголь-
	угольника с данными старо-
	нами Построение угла		— центре окружности, вписанной в треугольник;
	равного данному		— геометрическом месте точек, равноудалённых
			О1 двух данных.
45—47	Построение биссектрисы	3	Понимать:
	угла. Деление отрезка по-		— что такое задача на построение и её решение;
	полам. Построение перпен-		— что можно строить с помощью линейки;
	дикулярной прямой		— что можно строить с помощью циркуля;
	Контрольная работа № 6	1	— сущность метода геометрических мест.
48, 49	Геометрическое место то-	2	Решать простейшие задачи на построение:
	чек. Метод геометрических		— треугольника, равного данному;
	мест		— угла, равного данному;

 

1\3                                                                                                                                                                                                             Продолжение

СО _____________________________________________________________________________________________________

Номер пункта	Содержание материала	Коли­чество часов	Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
			— биссектрисы угла; — середины отрезка; — перпендикулярной прямой. Решать более сложные задачи на построение, ис­пользуя указанные простейшие
Итоговое	повторение	5
8 класс
§ 6. Четырёхугольники		19	Объяснять, что такое: — четырёхугольник и его элементы (вершины,
50—52	Определение                           четырёх-
		3	стороны (противолежащие и соседние), диаго-
	угольника.		нали);
	Параллелограмм. Свойство		— параллелограмм, прямоугольник, ромб, ква-
	диагоналей                        параллело-		Драт;
	грамма		— средняя линия треугольника;
53	Свойство противолежащих	2	— трапеция и её элементы, средняя линия трапе-
	сторон и углов параллело-		ции, равнобокая трапеция.
	грамма		Формулировать и доказывать:
54—56	Прямоугольник. Ромб. Квад-	4	— признак параллелограмма;
	рат		— свойство диагоналей параллелограмма;
	Контрольная работа № 1	1	— свойство противолежащих сторон и углов па­раллелограмма;
57, 58	Теорема Фалеса. Средняя	3	— свойства диагоналей прямоугольника и ром-
	линия треугольника		ба;
59	Трапеция	3	— теорему Фалеса;
60	Пропорциональные отрезки	2	— свойства средних линий треугольника и трапе-
	Контрольная работа № 2	1	ции,
			— теорему о пропорциональных отрезках.

 

			Понимать, что квадрат есть одновременно и пря­моугольник, и ромб. Строить с помощью циркуля и линейки четвёртый пропорциональный отрезок. Решать задачи на вычисление, доказательство и построение, используя изученные признаки, свой­ства и теоремы
§ 7. Теорема Пифагора		14	Объяснять, что такое:
			— косинус, синус, тангенс и котангенс острого
62—64	Косинус угла. Теорема Пи-	4	угла прямоугольного треугольника;
	фагора. Египетский тре-		— перпендикуляр, наклонная, её основание и
	угольник		проекция;
65, 66	Перпендикуляр и наклон-	2	— египетский треугольник.
67	ная. Неравенство треуголь­ника		Формулировать и доказывать: — теорему Пифагора; — теорему о зависимости косинуса от градусной
	Соотношения между старо-	3	меры угла;
	нами и углами в прямо-		— неравенство треугольника;
	угольном треугольнике		— тождества sin2 а + cos2 а = 1,
68, 69	Основные тригонометриче-	3	j                     j
	ские тождества. Значения		cos2 a            sin2 а
	синуса, косинуса, тангенса		sin (90° - ex) = cos ex, cos (90° - ex) = sin ex.
	и котангенса некоторых		Понимать, что:
70	углов	1	— любой катет меньше гипотенузы;
	Изменение синуса, косину-		— косинус любого острого угла меньше 1;
	са, тангенса и котангенса		— наклонная больше перпендикуляра;
	при возрастании угла		— равные наклонные имеют равные проекции,
	Контрольная работа № 3	1	а больше та, у которой проекция больше; — любая сторона треугольника меньше суммы
			двух других; — синус и тангенс зависят только от величины
			угла.

I'D СО

Номер пункта	Содержание материала	Коли­чество часов	Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
			Знать: — как выражаются катеты и гипотенуза через си-
			нус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника;
			— чему равны значения синуса, косинуса, танген­са и котангенса углов 30°, 45° и 60°. Решать соответствующие задачи на вычисление и доказательство
§ 8. Декартовы координаты на пло-		11	Объяснять, что такое:
скости			— декартова система координат, ось абсцисс, ось ординат, координаты точки, начало координат;
71—73	Определение декартовых	2	— уравнение фигуры;
	координат. Координаты се-		— угловой коэффициент прямой.
	редины отрезка. Расстояние		Знать:
	между точками		— формулы координат середины отрезка;
74—76	Уравнение окружности.	3	— формулу расстояния между точками;
	Уравнение прямой.		— уравнение окружности, в том числе с центром
	Координаты точки Пересе-		в начале координат;
	чения прямых		— уравнение прямой, условие параллельности
77—79	Расположение прямой от-	3	прямой одной из осей координат, условие про-
	носительно системы коор-		хождения её через начало координат;
	динат. Угловой коэффици-		— чему равен угловой коэффициент прямой;
	ент в уравнении прямой. График линейной функции		— что для 0 < а < 180°,
80	Пересечение прямой с окружностью	1

 

81	Определение синуса, коси­нуса, тангенса и котангенса любого угла от 0 до 180°	2	sin (180° - a) = sincx, eos (180° - ex) =-eos ex, tg(180° - ex) = —tgcx, cx^90°, ctg(180° - ex) =-ctgcx. Решать задачи на вычисление, нахождение и дока­ зательство
§ 9. Движение		9	Объяснять, что такое: — преобразование фигуры, обратное преобразо­вание; — движение; — преобразование симметрии относительно точ­ки, центр симметрии; — преобразование симметрии относительно пря­мой, ось симметрии; — поворот плоскости, угол поворота; — параллельный перенос. Формулировать и доказывать, что: — точки прямой при движении переходят в точки прямой с сохранением их порядка; — преобразования симметрии относительно точ­ки и относительно прямой являются движения­ми. Формулировать свойства: — движения; — параллельного переноса. Решать задачи, используя приобретённые знания
82, 83 86—88 84, 85 89, 90	Преобразование  фигур. Свойства движения Поворот. Параллельный пе­ренос и его свойства. Существование и единст­венность параллельного пе­реноса. Сонаправленность полупрямых Симметрия относительно точки. Симметрия относи­тельно прямой Геометрические преобразо­вания на практике. Ра­венство фигур Контрольная работа № 4	1 3 3 1 1
§ 10. Векторы		9	Объяснять, что такое: — вектор и его направление, одинаково направ- ленные и противоположно направленные век­торы; — абсолютная величина (модуль) вектора, коор­динаты вектора;
91, 92	Абсолютная величина и на­правление вектора. Равен­ство векторов	2

Ко

Номер пункта	Содержание материала	Коли­чество часов	Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)
93—95 96, 97 98, 99	Координаты вектора. Сло­жение векторов. Сложение сил Умножение вектора на чис­ло. Разложение вектора по двум неколлинеарным век­торам Скалярное произведение векторов. Разложение век­тора по координатным осям Контрольная работа № 5	2 2 2 1	— нулевой вектор; — равные векторы; — угол между векторами; — сумма и разность векторов; — произведение вектора и числа; — скалярное произведение векторов; — единичный и координатные векторы; — проекции вектора на оси координат. Формулировать и доказывать: — «правило треугольника»; — теорему об абсолютной величине и направле­нии вектора '/м: — теорему о скалярном произведении векторов. Формулировать: — свойства произведения вектора и числа; — условие перпендикулярности векторов. Понимать, что: — вектор можно отложить от любой точки; — равные векторы одинаково направлены и рав­ны по абсолютной величине, а также имеют равные соответствующие координаты; — скалярное произведение векторов дистрибу­тивно. Решать задачи
Итоговое	повторение	6

9 класс
§11. Подобие фигур		14	Объяснять, что такое:
			— преобразование подобия, коэффициент подо-
100, 101	Преобразование подобия.	1	бия, подобные фигуры;
	Свойства преобразования		— гомотетия относительно центра, коэффициент
	подобия		гомотетии, гомотетичные фигуры;
102, 103	Подобие фигур. Признак	2	— углы плоский, дополнительные, центральный,
	подобия треугольников по двум углам		вписанный в окружность, центральный, соот­ветствующий данному вписанному углу.
104, 105			Понимать, что масштаб есть коэффициент подо-
	Признак подобия треуголь-	2	бия.
	ников по двум сторонам и		Формулировать и доказывать:
	углу между ними. Признак		— что гомотетия есть преобразование подобия;
	подобия треугольников по		— что преобразование подобия Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:   123  Сейчас читают про: Техника наложения бинтовых повязок Модели отношения врач – пациент Столыпинская аграрная реформа Радиус и область сходимости степенного ряда Формы и системы оплаты труда Методы исследования Самый сильный аргумент, почему эволюция человека не могла быть  Как можно поддерживать порядок в государстве без религии? Когда один человек умирает от голода рядом с другим, больным от обжорства, он не способен смириться с таким различием, если только власть не объяснит ему, что «это от Бога». Религия – отличное средство утихомиривать людей. © Наполеон ==> читать все изречения... 5879 5461 Понравился сайт? Поделись им с друзьями: