Определение напряжений в толстостенной оболочке

Расчетная схема экспериментального сосуда показана на рис.1, а. Для определения меридиональных, кольцевых и радиальных напряжений  от внутреннего давления   p используются следующие уравнения:

уравнение равновесия элемента

                                           .                                                   (1)

Данное уравнение выражает условие равновесия выделенного элемента оболочки (рис.1, б) под действием нагрузок в направлении радиуса обечайки;

уравнение совместности деформаций

                                                .                                                     (2)

Уравнение (2) выражает связь между относительными кольцевыми и радиальными деформациями данного элемента   и ;

уравнение равновесия зоны

                                     .                                        (3)

В соответствии с уравнением (3) действие растягивающих сил в меридиональном направлении уравновешивается внутренними меридиональными силами (напряжением ).

Рис.1. Расчетная схема экспериментального сосуда (а), схема распределения

напряжений в элементе толстостенной оболочки (б) и эпюры напряжений

от внутреннего давления (в)

Согласно обобщенному закону Гука относительные деформации   и  связаны с напряжениями  ,   и  следующим образом:

                                         ,                                           (4)

                                         .                                           (5)

Выражения для   и , получаемые совместным решением уравнений (1), (2), (4), (5), имеют вид

                                                   ,                                                             (6)

                                                   .                                                            (7)

Константы интегрирования A и B в выражениях (6), (7) определяются из граничных условий на внутренней и наружной поверхностях оболочки:

 при ,

 при .

С учетом (3) окончательные выражения для меридиональных, кольцевых и радиальных напряжений записываются в виде

                                             ,                                                       (8)

                                             ,                                                       (9)

                                             .                                                     (10)

Приведенные формулы известны как формулы Ламе (по имени французского математика и инженера Габриеля Ламе, работавшего в Петербургской академии наук и впервые решившего данную задачу в 1830 – 1833 гг.).

Эпюры напряжений, построенные по формулам Ламе, показаны на рис.1, в.