Затухающие колебания в электрическом колебательном контуре

= Пример 2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Электри­ческое сопротивление реального контура R≠0, и, согласно (27.22), колебания заряда конденсатора описываются уравнением

 

 

                                                                (28.2)

где

              

 

Уравнения (28.1) и (28.2) тождествен­ны по форме. Поэтому можно утверждать, что общее дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний рассмот­ренных линейных систем имеет вид

                               (28.3)                                                                

Здесь s — изменяющаяся при колебаниях физическая характеристика системы;  — коэффициент затухания;ω ₀ — циклическая частота свободных неза­тухающих колебаний той же системы, т. е. в отсутствие потерь энергии (при ).

 

 вынужденных колебаний в электрическом колебательном контуре

| 1. Для осуществления вынужденных колебаний в электрическом колебательном контуре (см. § 27.3) в него нужно включить источник электрической энергии, э.д.с. ε   которого изменяется с течением времени (рис. 28.6). В электротехнике источник электрической энергии, характеризующийся э.д.с. и внутренним электрическим сопро­тивлением, называется источником э.д.с. (источником напряжения). По закону Ома для участка I— R — L — 2 цепи квазиста­ционарного электрического тока в контуре при вынужденных колебаниях

  IR=φ₁ – φ₂ - L (t)                                                                (28.33)

Здесь φ₁ – φ₂ =q/C — разность потенциа­лов обкладок конденсатора, q — его заряд, а внутреннее электрическое сопротивление источника э. д.с. считается пренебрежимо малым по сравнению с R - такой источник э. д. с. называется идеальным. Из закона сохранения электрического заряда следует, что I= dq/dt. Поэтому дифференциальное уравнение вынужденных электрических ко­лебаний в контуре можно представить в форме, аналогичной уравнению вынужден­ных механических колебаний (28.18):

                                        (28.34)

Здесь β = R/(2L)— коэффициент зату­хания свободных колебаний в контуре.

a ω₀ =   циклическая частота сво­бодных незатухающих колебаний (т. е. при R = 0).

2. Если вынуждающая э. д. с. (t) изме­няется по гармоническому закону:   (t) = ₀cosΩtто при установившихся вы­нужденных колебаниях заряд конденсатора колеблется гармонически с той же циклической частотой Ω:

     q=q₀ cos(Ωt+φ₀)                                                                                                (28.35)

Амплитуда Aи начальная фаза φ₀ нахо­дятся по формулам, аналогичным (28.25):

tq φ₀=-

Учитывая, что ω₀² =1/(LC) и β=R/(2L), получаем

                                               (28.36)

 

При Ω = 0 фаза φ₀(0)=0 и q₀(O) =ε₀C — заряд конденсатора при постоян­ной разности потенциалов между обкладка­ми, равной ε₀.   При Ω  амплитуда q₀  ,a . Графики зависимости q₀ (Ω) и φ₀ (Ω) показаны на рис. 28.4 и 28.5, где A = q₀ (0)=ε₀С.

3.Силу тока при установившихся вынуж­денных колебаниях в контуре найдем из (28.35):

                      (28.37)

Амплитуду тока I₀=q₀Ω и начальную фазу —φ=φ₀ +π/2 найдем с помощью формул (28.36):

I₀  =   ,                                                     (28.38)

tqφ=ctqφ₀=

Графики зависимости I₀ (q) при различ­ных R называются резонансными кривыми колебательного контура (рис. 28.7). Графи­ки зависимости φ(Ω) показаны на рис. 28.8. Резонансная циклическая частота Ω_р, соответствующая максимуму амплитуды тока в контуре при вынужденных колебани­ях, не зависит от R:

          Ω_p = ω₀ =                                                       (28.39)                                 

Амплитуда силы тока при резонансе I₀(Ω₀) — /R,а сдвиг фаз между силой тока и э. д. с. φ (Ω_p)=0. Если Ω <ω₀, то φ<0, т.е. сила тока опережает э. д. с. по фазе и тем сильнее, чем меньше Ω(φ=-π/2 при Ω=0). Если Ω>ω₀, то φ> 0, т. е. сила тока отстает по фазе от э.д.с. и тем сильнее, чем больше Ω( ).

 

 

Вопросы:

1. Как влияет коэффициент затухания на услов­ный период затухающих колебаний системы? Будет ли справедлива формула (28.10), если коэффициент затухания зависит от времени

2. Какова связь между добротностью колеба­тельной системы и ее логарифмическим дек­рементом затухания?

3. Почему в теории вынужденных колебаний уделяют такое большое внимание случаю, когда внешнее воздействие на колебательную систему изменяется по гармоническому зако­ну?

4.          Как влияют активное сопротивление, электро­емкость и индуктивность колебательного контура на его резонансные характери­стики?

5.          От чего зависит коэффициент мощности в це­пи переменного тока?