Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений (ЛНС ДУ)

Определение 1. ЛНС ДУ называется система уравнений следующего вида

           (5.1)

где  - заданные непрерывные на интервале (a,b) функции.

Теорема 1. Общее решение ЛНС ДУ (5.1) представляет собой сумму общего решения соответствующей ЛОС ДУ (3.1) и какого-либо частного решения системы (5.1):   

                                       

 

Доказательство.

1. Прежде всего докажем, что (5.2) является решением ЛНС ДУ (5.1). Для этого, подставим выражение (5.2) в (5.1) и покажем, что в результате получим тождество.

т.е. имеем .

Аналогичный вывод имеет место и для второго уравнения системы (5.1).

2. Во втором разделе доказательства докажем, что выражение (5.2) дает общее решение ЛНС. Для этого надо показать, что всегда найдутся числа  такие, что выделенное из семейства (5.2) частное решение будет удовлетворять начальным условиям   (5.3).

Согласно теореме 2 § 3 выражение (5.2) можно переписать в виде:

         (5.4)

где  и  образуют фундаментальную систему решений ЛОС ДУ. Подставим в (5.4) начальные условия:

Или 

       (5.5)

Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского

Но согласно теореме 1 § 3 он не равен нулю , следовательно, система уравнений (5.5) имеет решение и притом единственное: .

Теорема доказана.

 

Метод вариации произвольных постоянных.

 

Применим этот метод для решения ЛНС ДУ (5.1). Общее решение ЛОС ДУ (3.1) дается формулой

где  и  - произвольные постоянные. Будем искать решение системы (5.1) в виде             (6.1)

где  и  - функции, подлежащие определению.

Подставим (6.1) в (5.1):

Откуда получаем

Аналогично получаем второе уравнение для функций : .

Итак, для производных  имеем систему уравнений

     (6.2)

определитель которой есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений системы (3.1), который не обращается в нуль ни в одной точке (a,b). Поэтому решая систему (6.2), однозначно определяются  и :  и . Интегрируем эти выражения и подставляем результат в формулу (6.1).