ЛОС ДУ с постоянными коэффициентами

Эта система имеет вид

(4.1)

где - постоянные. Система (4.1) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций. Основным методом построения фундаментальной системы решений (4.1) является метод Эйлера. Согласно этому методу, решение ЛОС ДУ ищется в виде

Дифференцируем обе функции по x и подставляем в (4.1):

Сокращаем оба уравнения системы на :

(4.2)

Так как - некоторые постоянные числа, подлежащие определению, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, то определитель системы (4.2) должен быть равен нулю

(4.3)

Уравнение (4.3) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами системы (4.1). Каждому из корней характеристического уравнения соответствует хотя бы одно частное решение указанного выше вида. Различают три случая.

1. Оба корня характеристического уравнения вещественны и различны: . Подставляем в одно из уравнений системы (4.2), например, в первое уравнение: Из него с точностью до константы определяем , откуда получаем первое решение ЛОС ДУ: . То же самое проделываем со вторым корнем характеристического уравнения и в результате получаем второе, линейно независимое на , решение ЛОС ДУ: . Следовательно, согласно теореме 2 §3 общим решением системы (4.1) будет следующее семейство функций:

2. Если - корень характеристического уравнения, то . Подставляем в одно из двух уравнений системы (4.2) и с точностью до постоянной получаем . Теперь можно составить первое решение системы (4.1):

Отделив вещественную и мнимую части, получим два вещественных линейно независимых частных решения системы (4.1), соответствующих корню a+ib. Решения, соответствующие корню a-ib, будут линейно зависимы с решениями, соответствующими крню a+ib.

Итак, общее решение ЛОС ДУ в этом случае имеет вид:

В случае кратного корня характеристического уравнения предлагается представить общее решение системы уравнений (4.1) в следующем виде: , где - постоянные числа, причем и должны быть выражены через и . Рассмотрим поясняющий пример.