Теоретическое введение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГОГО МОДУЛЯ СДВИГА СТАЛЬНОЙ ПРОВОЛОКИ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Лабораторная работа № 4.8

Цель работы: исследовать деформацию кручения цилиндрического тела и установить связь между крутящим моментом и углом закручивания. Определить модуль сдвига образца.

Оборудование: крутильный маятник, измеритель периода крутильных колебаний системы, набор металлических дисков с известными моментами инерции, стальная проволока, электромагнит.

Теоретическое введение

Кручением называется деформация образца, один конец которого закреплен, а на другой действует пара сил, плоскость которой перпендикулярна оси образца. Кручение состоит в относительном повороте параллельных друг другу сечений, проведенных перпендикулярно к оси образца. Деформация кручения является неоднородной. Она увеличивается при удалении от оси поворотов элементов образца.

Закон Гука для деформации кручения записывается в виде

, (1)

где ƒ - модуль кручения, - абсолютный угол кручения образца.

Модуль кручения показывает, какой момент сил нужно приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в 1 рад. В отличие от модулей Юнга и сдвига эта величина зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.

Деформацию кручения можно свести к деформации сдвига. Получим выражение для модуля кручения ¦.

Рис.1

Стержень (рис.1) можно представить состоящим из множества цилиндрических оболочек (трубок), каждая из которых характеризуется радиусом r, длиной L и толщиной dr. Площадь основания трубки

dS = 2p rdr, (2)

а момент касательных упругих сил, действующих в этом основании,

, (3)

где - напряжение сдвига в этом сечении.

Каждый продольный элемент цилиндрической трубки поворачивается на угол

. (4)

По закону Гука для сдвига получим

. (5)

Итак, момент сил, действующих на цилиндрическую трубку, равен

. (6)

Полный же момент сил, действующих на проволоку (стержень) радиуса R, найдется интегрированием выражения (6):

. (7)

Имея соотношения (1) и (7), получим выражение для модуля кручения образца

. (8)

Экспериментально модуль кручения можно измерить, наблюдая крутильные колебания маятника.

Описание установки и методика измерений

Рис.2

Установка имеет основание с регулируемыми ножками, на котором расположен электронный измеритель периода крутильных колебаний и закреплена вертикальная колонка. На колонке установлены три кронштейна, причем нижний и средний, в случае необходимости, можно перемещать вдоль колонки. На среднем кронштейне имеется площадка в виде полукольца, на которой располагаются электромагнит и фотоэлектронный датчик. При необходимости их положение можно изменять.

Колеблющаяся система состоит из двух одинаковых упругих элементов (проволок) и инерционной рамки, позволяющей закреплять дополнительные инерционные грузы (диски) с известными моментами инерции относительно продольной оси (рис.2).

Динамическое уравнение свободных колебаний крутильного маятника имеет вид:

, (9)

где I – момент инерции колеблющейся системы, – угловое ускорение, М_упр – момент упругих касательных сил.

С учетом (7) уравнение (9) запишем в таком виде:

, (10)

где . (11)

Заметим, что как уравнение (10), так и соотношение (11) справедливы только для упругих деформаций кручения проволочной подвески маятника.

Решая уравнение (10), получим:

. (12)

Здесь φ – угол поворота крутильного маятника к моменту t; φ_m – заданная угловая амплитуда колебаний. Уравнение (12) определяет свободные, практически гармонические, колебания вертикального крутильного маятника с периодом

. (13)

На самом же деле, колебания будут медленно затухающими, так как полностью силы сопротивления исключить невозможно. Из (13) получим формулу для модуля сдвига

, (14)

где d – диаметр проволочной подвески маятника.

Собственный момент инерции маятника неизвестен. Чтобы исключить этот параметр, необходимо иметь два дополнительных инерционных тела с известными моментами инерции, которыми нагружается маятник.

Пусть I₀ – неизвестный собственный момент инерции маятника, а I₁ и I₂ – моменты инерции дополнительных тел. В этом случае мы получим систему двух уравнений:

(15)

Решая систему (15), получим:

, (16)

Здесь , где L₁ и L₂ – длины верхней и нижней проволочных подвесок маятника.

Порядок выполнения работы

1. Убедиться в том, что крутильный маятник в исходном состоянии имеет вертикальное положение. В противном случае произвести выравнивание прибора с помощью регулируемых ножек основания.

2. Установить первый инерционный диск в рамку маятника и измерить период колебаний, повторяя данную процедуру 3 раза. По данным этих измерений найти среднее значение периода Т₁.

3. Установить второй инерционный диск в рамку маятника, не снимая первый. Произвести 3 измерения периода и найти его среднее значение Т₂.

4. По формуле (16) найти модуль сдвига стальной проволоки.

5. Результаты измерений и расчётов записать в табл.1.

Таблица 1.