Последовательный колебательный контур(рис. 4.1, а) удобно рассматривать как четырехполюсник. На резонансной частоте он обладает низким входным сопротивлением и для обеспечения колебательного режима должен подключаться к источнику сигнала с достаточно малым выходным сопротивлением таким, чтобы выполнялось условие , где — волновое, или характеристическое, сопротивление контура.
а б
Рис. 4.1
Пренебрегая сопротивлением нагрузки (полагая его достаточно большим, >> r), запишем дифференциальное уравнение для выходного напряжения четырехполюсника :
, (4.1)
где в качестве входного воздействия взята взвешенная функция включения (функция Хевисайда). Однородному дифференциальному уравнению
(4.2)
соответствует характеристическое уравнение
с корнями ; здесь a = r/(2L), («собственная» резонансная частота контура). Решение неоднородного дифференциального уравнения (4.1) ищут в виде суммы решения однородного уравнения (4.2) и так называемого частного решения уравнения (4.1), которое при выбранном входном воздействии оказывается просто константой U:
|
|
.
Используя очевидные начальные условия , i(0) = 0, находят константы и и записывают решение:
,
которое при нормировке к U = 1 В становится безразмерной переходной характеристикой четырехполюсника g(t). Так как импульсная характеристика h(t) = dg/dt, получают
, t ³ 0. (4.3)
График h(t) приведен на рис. 4.1, б. В выражении (4.3) приближение сделано в предположении малых потерь α и ωр=ω0, а также введена постоянная времени последовательного колебательного контура. Здесь — нагруженная добротность контура, определяемая соотношением
. (4.4)
Комплексный коэффициент передачи последовательного колебательного контура в так называемом приближении малых расстроек рассчитывается просто:
=
= . (4.5)
Здесь принято , — в приближении малых расстроек.
Комплексный коэффициент передачи может быть также получен в результате применения к импульсной характеристике h (t) прямого преобразования Фурье:
. (4.6)
Нижним пределом интеграла в выражении (4.6) берут 0, так как импульсная характеристика физически реализуемого четырехполюсника существует только при t ³ 0. С использованием введенной постоянной времени результат (4.5) записывается в виде
|
|
.
АЧХ и ФЧХ цепи определяются выражениями
, . (4.7)
Входное сопротивление последовательного колебательного контура на резонансной частоте мало и равно эквивалентному сопротивлению потерь, = r. Поэтому последовательные контуры часто используют как режекторные фильтры для подавления сигнала на резонансной частоте.
Параллельный колебательный контур представляет собой параллельное соединение L и C элементов (рис. 4.2, а). Используют высокодобротные катушки индуктивности и конденсаторы с малыми потерями, причем потерями в конденсаторе в большинстве случаев пренебрегают и собственные потери контура представляют сопротивлением , отнесенным к индуктивности. Для удобства анализа схемы последовательное соединение и L пересчитывают в параллельное соединение эквивалентного сопротивления и L, пренебрегая квадратом сопротивления потерь по сравнению с квадратом индуктивного сопротивления, ( L)2 >> . На резонансной частоте параллельный контур имеет достаточно высокое эквивалентное сопротивление , где r, как и для последовательного контура, — волновое, или характеристическое, сопротивление, равное сопротивлению одной ветви контура на резонансной частоте, ; — собственная (ненагруженная) добротность колебательной системы. Для сохранения в контуре колебательного режима добротность должна быть достаточно велика, следовательно, подключаемые к нему сопротивления источника сигнала (генератора) и нагрузки должны быть большими (, ³ ).
а б
Рис. 4.2
Для исследования временных характеристик параллельного контура источник напряжения u(t) (рис. 4.2, а) заменяют источником тока , а параллельно подключенные к контуру сопротивления и пересчитывают с учетом в эквивалентное сопротивление (рис. 4.2, б) в соответствии с равенством , где , — нагруженная добротность параллельного контура. Иногда используют понятие внешней добротности , которая связывает собственную и нагруженную добротности .
Импульсной реакцией, или импульсной характеристикой, параллельного колебательного контура принято называть напряжение при воздействии на контур дельта-импульса тока (при экспериментальном определении импульсной характеристики используют достаточно короткий импульс). Импульсная реакция параллельного контура имеет колебательный характер и может быть записана как
. (4.8)
Здесь . Приближение (4.8) с учетом того, что α - мало и ωр≈ω0 (напомним, что , где — «собственная» резонансная частота контура), принимают для высокодобротного контура. Вводят также понятие постоянной времени нагруженного параллельного контура и записывают выражение (4.8) в форме
, . (4.9)
Из выражений (4.3) и (4.9) следует, что является интервалом времени между точками, соответствующими спаду огибающей импульсной характеристики в e = 2,72… (основание натуральных логарифмов) раз.
а б
Рис. 4.3
Из выражения (4.6) следует, что при безразмерном размерностью h (t) является 1/с. При определении импульсной характеристики параллельного колебательного контура было принято воздействие в виде дельта-импульса тока, а в качестве реакции — напряжение на контуре, поэтому размерностью здесь будет Ом — размерность отношения , — а размерностью h (t) будет Ом/с = 1/Ф, что поясняет присутствие в выражениях (4.8) и (4.9) множителя 1/ С. Комплексный коэффициент передачи параллельного колебательного контура записывается как
|
|
, (4.10)
где — абсолютная расстройка, как и для последовательного колебательного контура. Можно показать, что если — полоса заграждения контура на уровне 0,707 от максимума АЧХ, то — добротность контура, практически совпадающая с нагруженной добротностью контура, определенной через временные характеристики. Из выражения (4.10) определяют АЧХ и ФЧХ цепи (рис. 4.3, б):
, . (4.11)
Рис. 4.4 |
Снизить влияние сопротивлений и на колебательный контур можно, используя так называемое частичное включение контура: генератор и нагрузка подключаются к отводу катушки индуктивности и к части емкостной ветви (рис. 4.4) контура. Используют коэффициенты включения:
, .
При подключении источника напряжения u(t) к части индуктивной ветви контура он может быть заменен генератором тока , подключенным к контуру вида рис. 4.2, б. В этом случае комплексная частотная характеристика приобретает вид
,
где — эквивалентная нагруженная добротность, — эквивалентное сопротивление контура с учетом собственных и внешних потерь, — собственные потери контура (от коэффициентов включения не зависят), , — пересчитанные с учетом частичного включения сопротивления генератора и нагрузки. Подбором коэффициентов включения удается обеспечить требуемую полосу пропускания контура и расчетное эквивалентное сопротивление. Это особенно важно при использовании параллельного контура в качестве нагрузки в резонансных усилителях и генераторах.
3. Описание лабораторной установки
Макет установки (рис. 4.5) включает в себя исследуемые частотно-избирательные цепи с согласующими каскадами и коммутирующие элементы.
Рис. 4.5
На вход макета подают прямоугольные видеоимпульсы — для исследования временных функций и гармонические сигналы — для исследования АЧХ. Поскольку выходное сопротивление используемых генераторов довольно большое (десятки или сотни Ом), они подключаются к исследуемым цепям через согласующий каскад с низким выходным сопротивлением. На параллельный контур сигнал подается через большое сопротивление , что реализует эквивалентный источник тока.
|
|
Выходной каскад имеет высокое входное и низкое выходное сопротивления при коэффициенте передачи, равном единице. Этот каскад исключает влияние измерительных приборов на исследуемые цепи.
В макете предусмотрены переключатель вида контура (последовательный — параллельный) и два активных сопротивления нагрузки. Одно () предназначено для включения в последовательный контур. Второе (переменный резистор ) может подключаться как к полному контуру, так и к его части с коэффициентом включения pL = 0,7 (отвод от индуктивности) или с коэффициентом включения pC = 0,5 (частичное включение в емкостную ветвь). Выходное напряжение снимается с емкостной ветви контура.
4. Методика выполнения работы
Включить питание макета и используемых приборов. Установить конденсатор переменной емкости в среднее положение, нагрузочный резистор отключить от контура.
Для исследования импульсных характеристик к входу макета подключить выход генератора импульсов, к выходу — вход «Y» осциллографа. Для измерения частотных характеристик использовать высокочастотный генератор синусоидальных сигналов и вольтметр переменного тока.
Исследование импульсных характеристик колебательных контуров
1. Установить генератор прямоугольных импульсов в положение внутреннего запуска, нажав клавишу «Запуск». Длительность импульса возбуждения цепи t = 0,1…0,3 мкс, частота повторения импульсов 3×105 Гц, амплитуда импульсовоколо 10 В (выход генератора 1:1, множитель — 0,3).
2. Подать синхроимпульс положительной полярности от выхода синхронизации генератора импульсов на вход внешней синхронизации осциллографа. Установить на экране осциллографа, работающего в ждущем режиме, неподвижное изображение реакции цепи на входной импульс. Для этого отрегулировать уровень синхронизации.
3. Измерения начать с исследования импульсной реакции последовательного контура без добавочного резистора r (он должен быть замкнут переключателем). Резистор нагрузки R н при этом должен быть отключен. Подобрать коэффициент отклонения K 0, В/дел в канале «Y» и коэффициент развертки K р, мкс/дел в канале «X» так, чтобы осциллограмма импульсной реакции занимала бы большую часть экрана.
4. Измерить параметры импульсной реакции (постоянную времени контура tк и длительность квазипериода колебаний T). Постоянную времени tк определить в виде интервала времени, в течение которого огибающая импульсной реакции уменьшится в е = 2,72… раз. Для этого:
а) найти сечение огибающей по уровню 1/ е от максимума и подсчитать количество делений экрана, укладывающееся между максимумом и найденным сечением, умножив его на коэффициент развертки K р, получить значение ;
б) оценить длительность квазипериода колебаний: выбрать на экране достаточно большой временной интервал и подсчитать количество квазипериодов, укладывающихся в него. Разделив интервал на полученное число, найти квазипериод Т и значение резонансной частоты f р = 1/ Т.
5. Включить добавочный резистор r. При этом добротность контура снизится, и постоянная времени импульсной реакции уменьшится. Измерить для этого случая. Частоту (или квазипериод) измерять не надо — в пределах погрешности измерений она изменяться не будет.
6. Переключить макет в режим параллельного контура и измерить постоянную времени аналогичным образом. Затем исследовать влияние сопротивления нагрузки R на постоянную времени контура. Для этого установить переменный резистор в среднее положение, подключить нагрузку к полному контуру и измерить tк. Повторить измерения для частичного включения нагрузки в индуктивную и емкостную ветви контура.
7. Результаты измерений (6 значений постоянной времени) свести в таблицу.