Записанными в алгебраической форме

Комплексные числа

Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара чисел (а, b), над множеством которых по определенным правилам можно производить следующие операции: сложение, умножение, деление, возведение в степень результаты которых также являются комплексными числами.

Определение. Алгебраической формой комплексного числа z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z (real)), а b - мнимой частью (b = Im z (imaginarius)).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Действия с комплексными числами,

записанными в алгебраической форме.

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1) Сложение и вычитание – раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «плюс» или «минус» и приведение подобных слагаемых.

Пример.

2) Умножение – умножение двучлена на двучлен: каждое слагаемое в первой скобке на каждое слагаемое во второй скобке. Также учитываем, что i ²= - 1.

Пример.

В случае умножения комплексно – сопряженных чисел используем формулу сокращенного умножения «разность квадратов» (a+b)(a-b)=a²-b² и .

3) Деление – чтобы выполнить деление двух комплексных чисел, необходимо записать их в виде дроби, умножить числитель и знаменатель на число, комплексно сопряженное знаменателю, и выполнить действия в числителе и знаменателе, результат записать в виде комплексного числа.

Пример.

4) Возведение в степень – используем определение степени:

Пример. Вычислить , если .

Замечание. Введение понятия комплексного числа позволяет решать квадратные уравнения, у которых дискриминант отрицательный, на множестве комплексных чисел.

Пример. Решить квадратное уравнение на множестве комплексных чисел:

;