Формула включений и исключений

Найдем сколько элементов содержится в множестве А ∪ В. Основная формула нахождения числа элементов суммы двух множеств

n (А ∪ В) = n (А) + n (В) – n (А ∩ В).

Действительно, n (А ∪ В) — это сумма числа элементов множеств А и В, но при подсчете элементы, принадлежащие А ∩ В учитывались дважды. С помощью данной формулы можно получить формулы для определения числа элементов суммы любого числа множеств.

Например, для трех множеств она выглядит следующим образом:

n (А ∪ В ∪ С) = n (А) + n (В) + n (С) – n (А ∩ В) – n (В ∩ С) – n (А ∩ C) + n (А ∩ В ∩ С).

 

   Данная формула используется для решения различных задач.

 

Пример. Из 100 школьников английский знают 42, немецкий — 30, французский — 28, английский и немецкий — 5, английский и французский — 10, немецкий и французский — 8, английский, немецкий и французский — 3 школьника. Сколько школьников не знают ни одного языка?

Решение.

Обозначим через А — множество школьников, знающих английский язык; N — множество школьников, знающих немецкий язык; F — множество школьников, знающих французский язык.

Тогда n (A) = 42, n (N) = 30, n (F) = 28, n (A ∩ N) = 5,

n (A ∩ F) = 10, n (N ∩ F) = 8, n (A ∩ N ∩ F) = 3.

Найдем с помощью формулы включений и исключений количество школьников, знающих хотя бы один из перечисленных иностранных языков.

n (A ∪ N ∪ F) = n (A) + n (N) + n (F) =

= n (A ∩ N) – n (A ∩ F) – n (N ∩ F) + n (A ∩ N ∩ F) =

= 42 + 30 + 28 – 5 – 10 – 8 + 3 = 80.

Следовательно, не знают ни одного иностранного языка: 100 – 80 = 20 школьников.

 

Эту же задачу можно решить с помощью диаграммы Эйлера–Венна

Так как 3 языка знают 3 школьника, то английский и немецкий знают 5 – 3 = 2, английский и французский — 10 – 3 = 7,

немецкий и французский — 8 – 3 = 5 школьников.

Только английский знают 42 – (2 + 3 + 7) = 30, только немецкий — 30 – (2 + 3 + 5) = 20,

только французский — 28 – (3 + 5 + 7) = 13 школьников.

Ни одного языка не знают 100 – (2 + 3 + 5 + 7 + 13 + 20 + 30) = 20 школьников.

 

 

Вопрос 4. Основные числовые множества

 

Числовые множества:

N - множество всех натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

I - множество иррациональных чисел;

R - множество действительных чисел;

 

 

 

Представленные ниже схемы дают возможность представить взаимоотношения основных числовых множеств и их содержание.

 

 

Вопрос 5. Домашнее задание

Студенту необходимо:

1.  Изучить представленную тему, записав конспект данной темы в свою тетрадь по математике.

2. Рассмотреть и разобрать решение представленных в тексте темы практических заданий.

3. Выполнить домашнее задание.

 

- Наличие конспекта по данной теме будет проверяться на следующем занятии.

- На следующем занятии также будет проводиться устный опрос по данной теме.

- Разбор и проверка Упражнений домашнего задания будут проведены также на следующем занятии.

 

 

Выполнить Упражнения

1. Задайте перечислением элементов (3-им способом) множество, заданное характеристическим свойством (4-ым способом):

а) ,  б) ,

в) ,      г) .

 

2. В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством.

Опишите это свойство и найдите элемент, не обладающий им.

а) {сумма; разность; множитель; частное};

б) {1; 15; 16; 25; 64; 121};

в) {синий; красный; круглый; бежевый; зеленый};

г) {Обь; Иртыш; Волга; Байкал; Ангара; Амур};

д) {шар; пирамида; параллелограмм; цилиндр; конус}.

3. Составьте цепочки включений, так чтобы каждое следующее множество содержало предыдущее.

а)

А — множество всех позвоночных;

В — множество всех животных;

С — множество всех волков;

D — множество всех млекопитающих;

Е — множество всех хищных млекопитающих.

 

б)

А — множество всех трапеций;

В — множество всех прямоугольников;

С — множество всех четырехугольников;

D — множество всех квадратов;

Е — множество всех параллелограммов;

F — множество всех многоугольников.

 

 

4. На множестве U всех букв русского алфавита заданы множества:

, , .

Найдите следующие множества, укажите их мощность и изобразите их диаграммами Эйлера-Венна:

а) ,     б) ,         

 

5*. Решить задачу с помощью диаграмм Эйлера-Венна:

Лекции по экономике посещают 20 студентов, по математике – 30.

Найти число студентов, посещающих лекции по экономике или математике, если:

а) лекции проходят в одно и то же время.

в) лекции проходят в разные часы и 10 студентов слушают оба курса.