Формулы дифференцирования

Лекция №4

Тема: «Дифференциальное исчисление»

Важнейшим понятием математического анализа является производная, которая определяет скорость изменения функции.

Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций.

Понятие производной

Пусть задана некоторая функция y = f(x).

Возьмем какое-нибудь значение х₀ из области определения этой функции: х₀ Є D(f). Соответствующее значение функции в этой точке будет равно y₀ = f(x₀).

Определение:

приращением аргумента х в точке х₀ называется величина ∆х = х – х₀ (разность между двумя значениями аргумента: новым и исходным)

Зададим аргументу x_o приращение ∆х, тогда значение функции в новой точке х = х₀+∆х будет равно f(х₀ + ∆х).

Определение: приращением функции y = f(x)в точке х₀ называется величина

  ∆у = у – у₀ = f(х₀ + ∆х) – f(х₀)

 

Определение производной.    Производной у'(х) от функции y = f(x)в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆х→0, если он существует, то есть

Геометрический смысл производной - значение производной функции y = f(x)  в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке х₀ : f '(х₀) = tg =k

Задание: на чертеже обозначить угол  (см. угол, который выделен дугой)

Если функция y = f(x) имеет производную в точке х₀ (дифференцируема в точке), то она непрерывна в этой точке.

Функция y = f(x)имеет производную на интервале (а;b) (дифференцируема на этом интервале), если производная f '(х) существует в каждой точке этого интервала.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

 

Фактически производная функции показывает скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции – производная от пути по времени есть мгновенная скорость движения.

Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени :

s ^| (t) = v(t)

Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

s''(t) = a(t)

Формулы дифференцирования

 

Таблица производных

(xp)' = pxp-1	(sin x)' = cos x
x' = 1	(cos x)' = - sin x
()' =	(tgx)' =
()' =	(ctgx)' =
C' = 0,где С - const	(arcsin x)' =
(ex)'= ex	(arccos x)' =
(ax)'= ax	(arctg x)' =
()' =	(arcctg x)' =
(  )' =