Правила дифференцирования

Пусть u, v – функции, имеющие производную на всей области определения.

1. (u v)' = u' v'     - производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных

2. (Cu)' = Cu', где С= const    - постоянный множитель можно выносить за знак производной

3. (uv)' = u'v + uv'     - производная произведения равна сумме произведений производной первого слагаемого на второе и первого слагаемого на производную второго

4. (  )'=  , где v 0             -        производная частного

5.

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции, умноженной на производную от внутренней функции.

В данной формуле функция v(x) называется внутренней функцией аргумента x, а функция u(x) - внешней функцией.

№1. Найти производную функции

1) у = 3^x – 2x⁵ + e²

Решение: у′ = (3^x – 2x⁵ + e²)′ = (3^x)′ - (2x⁵)′ + (е²)′ = 3^xln3 – 2•5x⁴ + 0 = 3^xln3 – 10x⁴

2)  у = 2^x • x³

Решение: у′ = (2^x • x³)′ = (2^x) ′• x³  + 2^x • (x³)′ = 2^xln2 • x³  + 2^x • 3x² = 2^xln2 • x³  +3• 2^x x²  

    3) у =      

Решение: у′ =() ′ =   =    =  

4) у =

Решение: у ′ = ( = 5 (  = 5 ( • 2х = 10х (

Производные высших порядков

Если функция y = f(x) имеет производную в каждой точке х своей области определения, то ее производная есть функция от х. Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции y = f(x) (или второй производной) и обозначают символом .

 = ()^'        -производная второго порядка функции: производная от производной данной функции

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная -го порядка функции есть первая производная от производной -го порядка этой функции: (x) = ( (x))'

Замечание Число , указывающее порядок производной, заключается в скобки.

№1. Найти третью производную от функции у = хln2x в точке х = 2

Решение: у ′ = 1•ln2x + х•  • 2= ln2x + 1

у′′ = (у′)′ = (ln2x + 1) ′ =  • 2 + 0 =  

у′′′ = (у′′)′ = ( ′ = -

 у′′′ (2) = -  = -

Дифференциал функции

Согласно определению производной  у′ =  , где у = f (х).

Тогда  = у' + α, где α – бесконечно малая величина.

Отсюда следует: Δу = у′ •Δх + α•Δх.

Так как Δх®0, α →0, то  α•Δх®0 – бесконечно малая величина, а у′ •Δх – главное слагаемое (основная часть).

Определение. Дифференциалом функции у = f (х) в некоторой точке x называется главная, основная часть приращения функции.

 Обозначим d – дифференциал.  Дифференциал  функции у = f (х) обозначается как dy или df(x).  

Формула для дифференциала функции: dy = у'• ∆х

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента: dx = ∆х.

Формулу для дифференциала функции  можно записать в виде: dy = y'•dx

Итак, dy = y' • dx

 

Чтобы найти dy:

1. y'

2. dy = y' • dx

№1. Найти дифференциал функции у = х³соsх

Решение: dy = y' • dx

1. y' = (х³соsх)' = 3х²соsх + х³(-sinx) = 3х²соsх - х³sinx

2. dy =  (3х²соsх - х³sinx)dx

Ответ: dy = (3х²соsх - х³sinx)dx

№2. Найти дифференциал функции у =

Решение: y =  =  = 1-x

dy = y' • dx

1. y' = (1-x)' = 0 - 1= -1

2. dy =  -1 dx = - dx

Ответ: dy = - dx

 

Геометрический смысл дифференциала:

См. рисунок в начале лекции. Найдем на чертеже dy. Что видим? Дифференциал функции y = f (x) dy равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в данной точке (x₀; y₀), при изменении x (аргумента) на величину .