Метод касательных (Ньютона) для решения уравнений

Вновь рассмотрим ситуацию отделенного на отрезке корня уравнения (1). Будем предполагать, что функция имеет разные знаки на концах этого отрезка, а ее первые две производные на этом отрезке знака не меняют.

Геометрический смысл метода касательных заключается в том, что дуга кривой заменяется касательной к кривой.

На нижеприведенной схеме первая и вторая производные функции положительны.

В случае метода касательных уточнения корня строится последовательность отрезков и точек , сходящихся к корню.

Выберем тот край отрезка , на котором функция имеет тот же знак, что и ее вторая производная. В нашем случае - это точка B. Проведем через точку В касательную к графику функции . Точку пересечения этой касательной с осью абсцисс обозначим с₁^′ (х^* ≈ с₁^′). Запишем соответствующую формулу для рассматриваемого случая:

Теперь корень находится на отрезке[ a; c₁^′ ]. Найден на кривой точку B₁(c₁^′; f(c₁^′)) и проведем касательную к кривой в этой точке. Получим точку пересечения касательной с осью абсцисс:

…

(5)

Получим последовательность приближений с₁^′, с₂^′, …, с_к^′…, каждый последующий член которой будет ближе расположен к корню х^*.

За приближенное значение корня можно принять точку с_к^′ ≈ х^*. Аналогично строится последовательность и в случае 3).

Для случаев 2) и 4) касательную нужно проводить к концу А, конец В в этих случаях будет оставаться неподвижным.

Замечание: для того, чтобы точка пересечения касательной с осью абсцисс лежала внутри отрезка [ a; b ], касательная проводится к тому концу, где значение функции и второй производной совпадают по знаку.

Для оценки погрешности приближения, полученного методом хорд или касательных, используется формула:

, (6)