Физическое обоснование метода конечных элементов на примере протекания тока через детали в процессе контактной сварки

Продолжим рассмотрение задачи о протекании тока в проводнике и рассмотрим порядок построения модели на основе простейших конечных элементов. При точечной контактной сварке ток протекает через участок свариваемых пластин между электродами (рис. 12.2). Требуется определить электрический потенциал и плотность тока в нескольких заданных узловых точках на поверхности и в толще металла.

Рис. 12.2. Схема контактной точечной сварки двух пластин (а)

и конечно-элементной модели (б)

Рассмотрим модель интересующей нас части этих пластин (рис 2, а). Из соображений симметрии можно сократить и упростить моделируемую часть, а влияние не включенных в модель частей заменить при решении граничными условиями на контуре модели. Границы C и D можно считать изолированными (C - исходя из условия симметрии, а D – в связи с тем, что через участок пластины за этой границей ток не протекает). Границу A можно принять за начало отсчета и полагать потенциал на этой границе равным нулю. Тогда потенциал на границе B будет равен половине напряжения между электродами сварочной установки: .  

Разобьем модель (рис. 12.2, б) на ячейки (клетки) так, чтобы каждая граница проходила на равном расстоянии от двух соседних узлов. Закон Ома позволяет установить, какой ток потечет через границу пары ячеек 1 и 2 при разности потенциалов между ними . Если распределение потенциала по длине отрезка между этими точками  считать линейным, то напряженность электрического поля во всех точках элемента будет одинакова и равна . Плотность тока, согласно (12.1) равна (если материал изотропный и его удельное сопротивление во всех направлениях одинаково). Сила тока через границу площадью  пропорциональна разности потенциалов

.

Таким образом, граница между ячейками 1 и 2 эквивалентна по протекающему через нее току электрическому сопротивлению

,                                (12.3)

соединяющему центры этих ячеек - узлы 1 и 2. Такое сопротивление имеет вырезанный из исследуемой пластины проводник с удельным сопротивлением ρ, длиной   с постоянной по длине площадью поперечного сечения, равной площади границы . Назовем каждую такую границу с прилегающими к ней частями двух смежных ячеек конечным элементом. Если добавить в модель аналогичные конечные элементы для каждой пары соседних узлов, то они покроют всю модель. Будем считать, что все заряды, попавшие в одну из ячеек, сосредоточены в ее узле. Тогда построенную модель можно представить в виде электрической схемы (рис. 12.3). Согласно классификации конечных элементов, рассмотренные элементы следует называть стержневыми линейными двухузловыми.

Рис. 12.3. Принципиальная схема конечно-элементной модели

Если известны потенциалы на краях пластины и сопротивления конечных элементов, то можно по правилам Кирхгофа получить систему линейных уравнений, неизвестными в которой являются потенциалы внутренних узлов. Это типичная процедура метода конечных элементов по сведению дифференциального уравнения краевой задачи к системе линейных уравнений. Ввод данных, составление и решение системы уравнений и вывод результатов должны быть реализованы в компьютерной программе.