Решение системы методом Гаусса

Рассмотрим систему уравнений с симметричной матрицей:

.                                (12.9)

Здесь учтено, что и т. д.

Разделим первое уравнение на  (это возможно, если ):

,                              (12.10)

затем домножим его на

.

Если полученное уравнение вычесть из второго исходного уравнения, то первый член  сократится и останется

.

Если теперь уравнение (12.10) домножить на и вычесть из третьего исходного уравнения, получим

.

Это можно сделать для всех уравнений, содержащих .

Обозначив

, , ,

получим новую систему уравнений

,                                  (12.11)

полностью аналогичную исходной (симметричную, ленточную и т. д.), но не содержащую  и отдельно – уравнение (12.10), позволяющее найти  если известны все остальные .

Эту операцию можно продолжать, пока не останется последнее уравнение с одним неизвестным и по одному уравнению для каждого из предыдущих неизвестных  типа (12.10), позволяющему его найти, если известны все . Операция называется прямым ходом или прямой прогонкой.

Далее находим последнее неизвестное , по нему – предпоследнее , по ним -  и т. д. и, наконец,  из уравнения (12.10).

В результате этой операции (обратной прогонки) получаем решение системы .