2020-10-10
147
В основе решения задачи лежит уравнение сохранения заряда. Заряд не накапливается в участках электрической цепи, поэтому сумма токов, втекающих в каждый узел, равна нулю (первое правило Кирхгофа)
. (12.4)
Например, для узла 1
;
;
;
, (12.5)
где 
.
Мы получили уравнение (12.5), в котором несколько неизвестных – потенциал узла 1 и смежных с ним узлов 2, 3, 4 и 5. Это - уравнение постоянства заряда в узле 1. Такое уравнение можно записать для каждого узла, поэтому число уравнений равно общему количеству неизвестных. Вместе они образуют систему линейных уравнений:
, (12.6)
которая в сокращенной (тензорной) форме записи выглядит как
, (12.7)
где 
- вектор неизвестных потенциалов в узлах, 
- матрица 
системы уравнений, 
- порядок матрицы (число неизвестных и уравнений в системе). При тензорной записи пропускают знак суммы. На то, что в выражении (12.7) записан не одночлен, а сумма одночленов, указывает «слепой» - повторяющийся два раза индекс k, по которому и производят суммирование.
|
|
|
Мы проследили всю типичную процедуру метода конечных элементов от вывода исходных уравнений на основе некоторого дифференциального уравнения до сведения их в систему линейных уравнений. Далее необходимо решить систему и найти неизвестные, а по ним – все остальные параметры модели.
В данном случае исходное дифференциальное уравнение сохранения заряда – это уравнение Лапласа (12.2). Его можно превратить в систему алгебраических уравнений, если вместо производных подставить отношение конечных разностей:
.
Можно сказать, что каждое уравнение в системе (12.6) – это проинтегрированное по некоторой области (по одной ячейке) дифференциальное уравнение (12.2).
При интегрировании появляются неопределенные константы, которые нужно установить из граничных условий для получения окончательного решения. Граничными условиями являются значения функции в соседних узлах. Смысл системы уравнений заключается в стыковке между собой полученных интегралов по всем ячейкам.
