Задача 3.1
Абсолютно черное тело при Т = 1110К излучает в космосе.
а) Каково отношение спектральных интенсивностей излучения абсолютно черного тела при l1= 1 мкм и l2 = 5 мкм?
Решение
Из закона спектрального распределения поверхностной плотности потока излучения Планка (формула 3.5) будем иметь:
Здесь принято С2 = 1,4388 × 10-2 м × К = 1,4388 × 104 мкм × К.
б) Какая доля полусферической поверхностной плотности потока излучения приходится на область от 1 до 5 мкм?
Решение
Обозначим: l1 = 1 мкм, l2 = 5 мкм.
Доля полусферической интегральной поверхностной плотности потока излучения, испускаемого в полосе спектра l1-l2, определяется формулой:
Решения, которые могут быть получены путем непосредственного интегрирования интегралов F0 -lT, не рассматриваем.
Решение с использованием таблиц, содержащих значения F0 -lT (см., например, таблица А-5, приложения А/13/):
l1Т = 1 × 1110 мкм ×К = 1110 мкм ×К = 0,111×10-2 м ×К;
l2Т = 5 × 1110 мкм ×К = 5550 мкм ×К = 0,555×10-2 м ×К;
|
|
F0 -l2T = F0 – 0,555 × 10-2 =0,69655;
F0 -l1T = F0 – 0,111 × 10-2 = 0,00101;
Fl2 -l1 = F0 -l2T - F0 -l1T = 0,69655 - 0,00101=0,69554» 0,696.
3. Решение с помощью полиномов(/13/, приложение А):
Так как J1 и J2 более 2, то для вычисления функций F0 -lT применим следующий полином (формула 3.9):
Откуда, при m = 1 будем иметь:
Fl2 -l1 = F0 -l2T - F0 -l1T = 0,68154 - 0,0010» 0,68054.
С точностью до 2% решения, полученные с помощью таблиц (Fl2 -l1 = 0,69554) и полиномов (даже при m = 1) совпадают.
в) Какой длине волны соответствует максимум в спектре излучения этого абсолютно черного тела?
Из закона смещения Вина (формула 3.6) будем иметь
г) Какова плотность потока излучения (кВт/м2), испускаемого этим телом в диапазоне 1 £ l £ 5 мкм?
Используем закон Стефана-Больцмана (формула (2.23) /13/):
Задача 3.2
Источником абсолютно черного излучения является отверстие в печи с температурой 1390 К. Какая часть излучения задержится кольцевым диском? Какая часть пройдет через отверстие в диске?
Рисунок 3.6
Решение
а) Какая часть излучения задержится кольцевым диском?
Полусферическая интегральная поверхностная плотность потока излучения равна (формула (3.3):
Интегральная поверхностная плотность потока излучения в телесном угле, ограниченном пределами b1 и b2 и Q1 и Q2, равна (формула (3.4):
.
Кольцевым диском задержится следующая часть потока излучения:
Углы b1 и b2 определяются из рассмотрения прямоугольных треугольников, содержащих эти углы:
б) Какая часть излучения пройдет через отверстие в диске?
В этом случае:
b1 = 0;
b2 = 0,2449 рад;
Задача 3.3
Направленная степень черноты серой поверхности изображена на графике. Свойства изотропны относительно азимутального угла Q.
|
|
Рисунок 3.7
а) Чему равна полусферическая степень черноты этой поверхности?
Решение
Полусферическая интегральная степень черноты определяется выражением (3.6б /13/):
где e ¢(b, Q, ТА) – направленная интегральная степень черноты; ТА – температура поверхности; dw – телесный угол излучения, Ç – интегрирование по полусфере.
По условию задачи, степень черноты серой поверхности не зависит от температуры поверхности ТА, т.е.:
б) Если поток падающего черного излучения при температуре 93°С равномерно распределяется по всем направлениям, то какая доля падающей энергии будет поглощаться этой поверхностью?
Решение
В нашем случае (черный излучатель) интенсивность падающего излучения не зависит от угла падения, следовательно:
в) Если эту поверхность поместить в окружающую среду с температурой 0 К, то каким должен быть поток энергии, подводимой к 1 м 2 этой поверхности, чтобы ее температура оставалась равной 556 К?
Решение
Поток энергии, подводимой к поверхности, должен быть равным потоку излучения:
Задача 3.4
Спектральная поглощательная способность al(l) селективной поверхности SiO – Al может быть приближенно представлена графиком, приведенном ниже (рисунок 3.8). Поверхность находится на земной орбите вокруг Солнца, и на нее в направлении нормали падает поток солнечного излучения qi =1393 Вт/м2. Какова равновесная температура поверхности при условии, что al не зависит от угла и температуры поверхности.
Рисунок 3.8
Решение
Так как перенос тепла осуществляется только изучением, то энергии поглощаемого и испускаемого излучения будут равны:
где Qа – энергия поглощения поверхности площадью А; a¢n – направленная по нормали интегральная поглощающая способность; a0-1,5, a1,5-¥ - полусферическая поглощательная способность в диапазоне длин волн Dl = (0 – 1,5) мкм и Dl = (1,5 – ¥) мкм соответственно; F0 – 1,5(TR), F1,5 – ¥ (TR) – доля интегрального потока падающего солнечного излучения в диапазоне длин волн, соответственно,
Dl = (0 – 1,5) мкм и Dl = (1,5 – ¥) мкм; TR – температура источника (Солнца),
TR = 5556 К.
где Qе – энергия излучения поверхности площадью А; e – полусферическая интегральная степень черноты; e0-1,5, e1,5-¥ - полусферическая степень черноты в диапазоне волн Dl = (0 – 1,5) мкм и Dl = (1,5 – ¥) мкм соответственно; F0 – 1,5(TR), F1,5 – ¥ (TR) – доля интегрального потока излучения поверхности в диапазоне длин волн, соответственно, Dl = (0 – 1,5) мкм и Dl = (1,5 – ¥) мкм; Tе – равновесная температура поверхности.
Ввиду независимости интенсивности падающего излучения (источник: абсолютно черное тело (Солнце) с температурой Т = 5556 К) от направления, будем иметь равенство полусферических степени черноты и поглощательной способности, т.е.:
Полусферические интегральные в диапазоне волн Dl = (0 – 1,5) мкм и
Dl = (1,5 – ¥) мкм значения степени черноты и поглощательной способности будут равны:
Приравнивая Qa и Qе будем иметь:
Значения выражений F0 – 1,5(5556 К) и F1,5 – ¥ (5556 К) определяются по таблицам /13/
Значение Те определяется методом последовательных приближений:
Те = 665 К.
Задача 3.5
Диэлектрик с коэффициентом преломления n = 1,8 излучает в воздух. Какова направленная степень черноты в направлении, нормальном к поверхности, и в направлении, составляющем b =85° с нормалью?
Решение
Степень черноты при излучении диэлектрика в воздух в направлении нормали равна (см. формулу 4.51 /13/:
;
.
Из формулы Френеля (формула 4.48 /13/) будем иметь:
где c - угол преломления.
Для диэлектриков (формула 4.43, /13/):
где п1 -коэффициент преломления воздуха, п1 = 1; п2 -коэффициент преломления диэлектрика, п2 = 1,8.
c = 33,6°;
Задача 3.6
Оцените спектральную отражательную способность алюминия в направлении нормали при температуре 293 К для длин волн l0 равных 5, 10, 20 мкм.
|
|
Решение
Из формулы Хагена-Рубенса для спектральной отражательной способности в направлении нормали будем иметь (формула 4.77 /13/). Размерности принимать: для l0 – в микрометрах, rе – в Ом×см.
Из таблицы (4.3 /13/) для удельного электрического сопротивления алюминия можно принять rе = 2,82 × 10-6 Ом×см.
Тогда для r¢l,п(l) последовательно для l0 = 5, 10, 20 мкм будем иметь:
Задача 3.7
На полированное золото при температуре ТА = 30°С падает излучение от серого источника в направлении нормали при температуре ТR = 540°C. Найти поглощательную способность a¢п.
Решение
Направленная интегральная поглощательная способность равна (формула 3.14а /13/):
.
здесь i – индекс для падающего излучения.
Для серого тела:
Тогда
Из закона Кирхгофа (формула 3.12 /13/) имеем:
Поэтому
Из формулы Хагена-Рубенса (формула 4.77 /13/) следует, что изменение rе с температурой приводит к изменению , пропорциональному .
Тогда:
Имеем (формула 4.81б /13/):
Размерность rе,273 в Ом×см, размерность ТR в К.
re равно (таблица 4.3 /13/):
Из формулы (4.80 /13/):
Тогда:
Задача 3.8
Свойства некоторой серой поверхности зависят от направления, как показано ниже (рисунок 3.9). Величина a¢ изотропна относительно угла Q.
Рисунок 3.9
а) Чему равно отношение a¢ (b = 0)/ e (отношение направленной поглощательной способности к полусферической степени черноты) для этой поверхности?
Решение
По условию задачи имеем: a¢ (b =0) = 0,9; a¢ (b =0) = a¢п.
Из формулы (3.6б /13/):
б) Чему равна равновесная температура тонкой пластины, обладающей указанными выше свойствами, если она находится на земной орбите вокруг Солнца, и на нее действует поток солнечного излучения с поверхностной плотностью q =1394 Вт/м2? Принять, что пластина ориентирована перпендикулярно солнечным лучам и идеально изолирована со стороны, противоположной Солнцу.
Решение
Из формулы 3.13 при b = 0 имеем:
|
|
в) Чему равна равновесная температура, если пластина расположена под углом 60° к солнечным лучам?
Рисунок 3.10
Решение
Из формулы 3.13 при b = 60° имеем:
г) Чему равна равновесная температура, если пластина расположена перпендикулярно солнечным лучам, но не изолирована? Принять, что пластина очень тонкая и имеет с обеих сторон одинаковые направленные характеристики.
Количество поглощаемой энергии будет равно:
где А – площадь одной стороны пластины.
Количество излучаемой энергии:
Приравнивая энергии поглощаемого и испускаемого излучений, получим:
Задача 3.9
Вывести выражение для углового коэффициента между элементарной площадкой, расположенной над центром диска, и диском радиуса R.
Рисунок 3.11
Решение
Угловой коэффициент равен (формула3.15):
.
Площадь dA2 выражается через локальный радиус диска r и угол Q:
Q изменяется в пределах:
r изменяется в пределах:
.
Тогда:
Задача 3.10
Каков поток результирующего излучения между двумя черными поверхностями dA1 и A2?
Условия задачи:
поверхности – поверхности задачи 3.9;
dA1=12,7´12,7 мм2;
Н=0,6096 м=609,6 мм;
Т1=1666 К;
Т2=555К;
R=152,4 мм.
Решение
Поток результирующего излучения (формула 3.21) равен:
Задача 3.11
Две бесконечные параллельные серые пластины разделены тонким серым экраном.
Рисунок 3.12
а) Чему равна температура экрана ТS?
Решение
Рисунок 3.13
Теплообмен идет от поверхности 2 к поверхности 1; q2 – плотность потока, подводимого к поверхности 2, чтобы компенсировать поток результирующего излучения и тем самым поддержать заданную температуру поверхности. Тепло, подводимое к поверхности 2, отводится от поверхностей 3 и 1, т.е.
q2 = q3 = q1.
Тогда (формула 3.23):
Обозначая и вычисляя:
получим:
б) Какова плотность потока результирующего излучения от пластины 2 к пластине 1?
Решение
в) Каково отношение потоков излучения, передаваемых от пластины 2 к пластине 1, в присутствии экрана и без него?
Решение
Поток излучения, передаваемый от пластины 2 к пластине 1, в присутствии экрана, равен q2=6,86 кВт/м2. Результирующий поток излучения от пластины 2 к пластине 1 без экрана равен:
Отношение потоков, передаваемых от пластины 2 к пластине1, в присутствии экрана и без него:
Задача 3.12
Цилиндрический сосуд для хранения жидкого кислорода выполнен c двойными стенками, покрытыми слоем серебра, полусферическая интегральная степень черноты которого e1 = e2 =0,02. На наружной поверхности внутренней стенки температура равна t1 = -183°С, а температура на внутренней поверхности наружной стенки t2 =20°C. Расстояние между стенками мало, и поверхность А1 можно считать равной поверхности А2.
Вычислить тепловой поток, проникающий в сосуд через стенки путем лучистого теплообмена, если теплоотдающая поверхность А1 =А2 =А =0,157 м2.
Рисунок 3.14
Решение
Ввиду примерного равенства поверхностей А1 и А2 для решения задачи можно применить формулу 3.23, используемую для расчета теплообмена излучением между двумя параллельными (зеркальными или диффузными) пластинами в виде:
Тогда:
Задача 3.13
В канале, по которому движется горячий газ, температура газа измеряется при помощи термопары. Показание термопары t1=300°С, а температура стенки при установившемся тепловом режиме tW=200°С. Вычислить ошибку в измерении температуры газа, которая получается за счет лучистого теплообмена между горячим спаем термопары и стенкой канала, и истинную температуру газа. Степень черноты горячего спая термопары принять e1=0,8, а коэффициент теплоотдачи от газа к поверхности горячего спая a=58,2 Вт /м2×град.
Рисунок 3.15
Решение
Составим уравнение теплового баланса для горячего спая термопары. Горячий спай термопары отдает тепло за счет излучения:
где Т1, ТW – соответственно, температуры горячего спая термопары и стенки канала; А1 – площадь горячего спая; Fd1-2 – угловой коэффициент между горячим спаем и стенкой канала.
Горячий спай получает тепло за счет конвенции:
где a - коэффициент теплоотдачи; t2 – температура горячего газа.
При установившемся режиме:
Ошибка в измерении температуры газа будет равна:
Практически все тепло с горячего спая падает на стенки канала, следовательно, Fd1-2=1. Тогда
Истинная температура газа равна:
Задача 3.14
Показано, что в качестве первого приближения можно считать, что поглощательная способность СО2 при температуре Тg=833К и давлении 1,01 МН/м2 может быть представлена четырьмя полосами с вертикальными границами при длинах волн 1,8 и 2,2; 2,6 и 2,8; 4,0 и 4,6; 9 и 19 мкм соответственно. Какова интегральная степень черноты очень толстого слоя газа при той же температуре?
Направленная спектральная степень черноты объема однородного газа при длине пути излучения S (формула 13.42 /13/):
где al - коэффициент поглощения; Т, Р – температура и давление газа, соответственно.
При очень большой толщине слоя газа e¢l ®1 в полосах поглощения. Следовательно, газ будет излучать подобно черному телу в полосах поглощения. На непоглощающих участках между полосами el = 0.
Направленная интегральная степень черноты объема однородного газа при длине пути излучения S:
Следовательно, степень черноты есть доля излучения твердого тела, приходящаяся на интервалы полос поглощения, которая может быть определена с помощью коэффициентов F0-lTg /л. 13, таблица А5 приложения/.
Для данного случая они равны:
l, мкм | lТg, мкм×К | F0-lTg | l, мкм | lТg, мкм×К | F0-lTg |
1,8 | 1500 | 0,01285 | 4,0 | 3333 | 0,34734 |
2,2 | 1833 | 0,04338 | 4,6 | 3833 | 0,44977 |
2,6 | 2167 | 0,09478 | 9,0 | 7500 | 0,83435 |
2,8 | 2333 | 0,12665 | 19 | 15800 | 0,97302 |
Тогда интегральная степень черноты будет равна:
Подставляя числовые значения, получим:
e¢=(0,04338-0,01285)+(0,12665-0,09478)+(0,44977-0,34734)+
+(0,97302-0,83435)=0,304.
Задача 3.15
Внутренние стенки печи прямоугольного сечения с размерами 0,305×0,305×1,22 м3 покрыты сажей и могут считаться черными. Печь заполнена продуктами сгорания при температуре 1950 К состава: 40 об.% СО2, 30 об.% водяного пара, остальное – азот.
Полное давление равно 0,202 МПа (2 атм). Используя график интегральной степени черноты СО2 и Н2О, рассчитать поток излучения, исходящий от газа на стенки.
Рисунок 3.16
Решение
(Используется методология монографии /13, гл.17/.
Соотношение сторон объема печи: 0,305:0,305:1,22=1:1:4.
Средняя длина пути луча с учетом конечного значения оптической толщины Lе (/13/, таблица 17.1)
Lе= 0,81 × x,
где x – наименьшее ребро, х = 0,305 м.
Тогда:
Lе= 0,81 × 0,305 м = 0,247 м.
Учитывая, что двухатомный газ азот имеет низкое значение спектрального коэффициента поглощения, и потому он практически прозрачен для теплового излучения, для степени черноты смеси СО2, водяного пара и азота (непоглощающего газа) будем иметь:
,
где - интегральные степени черноты углекислого газа и водяного пара в смеси непоглощающего газа при полном давлении 0,101 МПа (1 атм) (таблицы 17.11, 17.13 в /13/):
-поправки на давление к интегральной степени черноты, соответственно, СО2 и водяного пара (рисунки 17.12, 17.14 в /13/);
De - поправка к интегральной степени черноты в случае перекрывания полос, когда в смеси присутствуют СО2 и водяной пар (рисунок17.15 в /13/).
Полное давление смеси: Р=0,202 МПа.
Парциальные давления компонентов смеси:
Вычисление параметров:
;
.
Из рисунка 17.11: .
Из рисунка 17.13: .
Из рисунка 17.12: .
Из рисунка 17.14: .
Из рисунка 17.15: .
Тогда:
Поток излучения Q, падающий на всю поверхность стенок А, определяется выражением:
Площадь стенок равна:
А = [2×(0,305 ×0,305)+4×(0,305×1,22)]м2=1,674м2.
Откуда: