Уравнения в частных производных

Общие сведения о дифференциальных уравнениях в частных производных. Модели различных процессов описываются с их помощью. Аргументами функций этих уравнений являются пространственные координаты х, y z и время t.

Линейным УрЧП 2 порядка называется для функции u(x,y)

F(x,y) = A(x,y)∂²u/∂x² + 2B(x,y)∂²u/∂x∂y + C(x,y)∂²u/∂y² + D(x,y)∂u/∂x + E(x,y)∂u/∂y + G(x,y)u

Линейным УрЧП 2 порядка называется для функции u(x,t)

F(x,t) = A(x,t)∂²u/∂x² + 2B(x,t)∂²u/∂x∂t + C(x,t)∂²u/∂t² + D(x,t)∂u/∂x + E(x,t)∂u/∂t + G(x,t)u

Если F=0 то уравнение называют однородным.

Если В²-АС<0 то эллиптическое уравнение.

Если В²-АС>0 то гиперболическое уравнение.

Если В²-АС=0 то параболическое уравнение.

Если В²-АС не имеет постоянного знака то уравнение смешанного типа. Можно преобразованием переменных привести уравнение к такому виду чтобы В=0. Тогда можно определить его тип (см. выше).

Использование метода сеток. Часто используют метод сеток (он же метод конечных разностей). Область поиска решения разбивается прямоугольной сеткой на клеточки. Точки (узлы сетки) на границе области поиска называются внешними, остальные внутренними. Рассматривая значения в узлах сетки, получаем (в зависимости от их количества) более или менее сложную для решения систему линейных алгебраических уравнений. Уменьшение числа узлов сетки снижает точность решения.

Можно выделить следующие этапы решения уравнений в частных производных:

· Конструирование (построение) области, в которой решается уравнение.

· Ввод уравнения в частных производных.

· Определение начальных и граничных условий.

· Триангуляция области.

· Решение уравнения.

· Визуализация результата.

В окне Command Window введем команду pdetool и откроется окно PDE ToolBox. Оно содержит (Рис.1.38):

· Строку меню;

· Панель рисования области;

Рис.1.38. Окно PDE ToolBox

· Панель определения и решения задачи;

· Область ввода формулы для конструирования области решения;

· Место для определения геометрической области решения задачи.

Решение эллиптических уравнений. Рассмотрим для примера следующую задачу: пусть дана пластина (неважно из какого материала). В ней два круглых отверстия (Рис.1.39), дана температура на их краях (то есть на окружностях в виде с соответствующего направления). Границы пластины правая и левая теплоизолированы, верхняя и нижняя не изолированы и дана их температура. Дан коэффициент температуропроводности.