Типовые вопросы для текущего контроля успеваемости

Образцы вопросов устного опроса и домашних заданий:

1. Пояснить физический смысл уравнения непрерывности.
2. Каков физический смысл волновой функции? Какова размерность волновой функции?
3. Почему операторы, используемые в квантовой механике, должны быть самосопряженными?
4. Коммутативна ли операция произведения операторов?
5. Выписать оператор проекции углового момента на ось z в сферической системе координат.
6. Из какого условия вытекает уравнение на собственные функции и собственные значения операторов?
7. Вычислить собственные функции и собственные значения оператора проекции углового момента на ось z, используя его представление в сферической системе координат. Вычислить также нормировочный коэффициент этих функций.
8. Вычислить собственные функции и собственные значения оператора проекции импульса на ось x и нормировать эти функции по методу Дирака.
9. Выписать соотношение неопределенностей в общем виде.
10. Зависят ли волновые функции стационарных состояний от времени? Ответ обосновать.
11. Вывести формулу Гамова.
12. Вычислить коэффициент отражения R частицы с энергией E от прямоугольной потенциальной ямы глубины -U_m. Есть ли оптические аналогии этому явлению? Что было бы в случае классической частицы?
13. Экспериментальные доказательства существования туннельного эффекта.
14. Определить максимальное число энергетических уровней в прямоугольной потенциальной яме конечной глубины –U_m.
15. Найти отношение магнитного момента к механическому моменту для электрона, вращающегося по круговой орбите (гиромагнитное отношение).

Образцы вопросов контрольных работ:

1. Рассчитать, используя формулу Гамова, и сравнить прозрачности барьеров прямоугольной, треугольной и параболической форм.

2. Рассчитать максимальное число энергетических уровней частицы в прямоугольной потенциальной яме конечной глубины. Всегда ли одномерная прямоугольная яма имеет хотя бы один энергетический уровень.

3. Решение уравнения Шредингера для прямоугольных потенциалов. Граничные условия для волновой функции. Частица налетает на потенциал вида: а) прямоугольная ступенька высоты U_m (E > U_m, E < U_m); б) прямоугольный барьер высоты U_m (E > U_m, E < U_m); в) прямоугольная потенциальная яма глубины U_m <0 (E > 0). Рассчитать коэффициент отражения и прохождения. Есть ли оптические аналогии этому явлению? Что было бы в случае классической частицы?

4. Оценить радиус области для атома водорода, в которой электрон может быть обнаружен с вероятностью 0.9.

5. Вычислить собственные функции и собственные значения оператора проекции углового момента на ось z, используя его представление в сферической системе координат. Вычислить также нормировочный коэффициент этих функций.

6. Предположим, что частица, налетающая на потенциальную ступеньку, является электроном. Пусть энергия частицы меньше высоты потенциальной ступеньки, т.е. E < U_m и пусть эта система находится в однородном электрическом поле, вектор напряженности G которого направлен антипараллельно оси x. Это поле является потенциальным, и его напряженность связана с потенциалом φ известным соотношением, G = - grad φ. Используя это соотношение, для одномерного случая с учетом знака проекции вектора напряженности на ось x, получим выражение для электрического потенциала, создаваемого этим полем φ(x) = Gx + C. Выберем начало отсчета потенциала так, чтобы φ(0) = 0, тогда C = 0. Потенциальная энергия электрона в этом поле будет U_e = - eGx, где e – заряд электрона. Как изменится форма потенциального барьера при учете этого взаимодействия? Изобразите получившейся профиль на рисунке и дайте качественную интерпретацию явлению холодной эмиссии электронов из металлов. Оцените напряженность электрического поля G, которое, действуя в течение времени τ = 10^-2 с, может вызвать туннельную ионизацию, если ее потенциал ионизации (работа выхода) равен 3 эВ. Может ли такую напряженность электрического поля создать внутри молекулярной системы какая-либо заряженная или полярная группа? Указание: для оценки проницаемости треугольного барьера воспользуйтесь формулой Гамова.

7.4. Примерные темы докладов:

1. История проблемы корпускулярно-волнового дуализма в физике в первой четверти 20-го века. Основные опыты и гипотезы: спектр излучения абсолютно черного тела, фотоэффект, эффект Комптона, гипотеза Л. Де Бройля и опыты по дифракции электронов.

2. Ранняя квантовая теория. Теория Бора атома водорода. Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Принцип соответствия и принцип дополнительности Бора.

3. Оптико-механическая аналогия – идейная основа для создания уравнения Шредингера.

7.5. Типовые вопросы для проведения промежуточной аттестации:

1. Временное и стационарное уравнение Шредингера.
2. Операторы в квантовой теории. Квантово-механическое среднее оператора.
3. Уравнение непрерывности для плотности и тока вероятности. Статистическая интерпретация волновой функции.
4. Свойства собственных функций операторов. Собственные значения операторов.
5. Принцип суперпозиции состояний квантовой системы.
6. Произведение операторов. Коммутатор.
7. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.
8. Нормировка волновых функций в случае непрерывного спектра.
9. Квазиклассическое приближение. Туннельный эффект. Формула Гамова.
10. Квантовый гармонический осциллятор.
11. Центральное поле. Теория углового момента.
12. Квантовый сферический ротатор.
13. Атом водорода.
14. Стационарная теория возмущений.
15. Двухуровневая система.
16. Вариационный метод нахождения основного состояния.
17. Нестационарная теория возмущений. «Золотое правило» Ферми.
18. Квантовые переходы. Правила отбора для дипольных переходов в гармоническом осцилляторе.
19.  Открытие спина элементарных частиц.
20. Тождественность элементарных частиц, принцип запрета Паули.
21.  Периодический закон – таблица Менделеева.

8. Ресурсное обеспечение: