Решение в табличном процессоре Microsoft Excel

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МЕТОД РУНГЕ-КУТТА³

Погрешность метода Эйлера велика, поэтому на практике чаще используется метод Рунге-Кутта. Существуют формулы Рунге- Кутта нескольких видов [7]. Мы будем производить расчеты форму- лами четвертого порядка, которые имеют вид:

yk +1

= yk

+  k 1 + 2 × k 2 + 2 × k 3 + k 4

6

(2),

где k 1

= h × f (xk

, yk

), k 2

= h ×

æ

f ç  xk

è

+ h, y

2 k

+ k 1  ö , (3)

2 ÷

ø

= h ×

æ

k ₃    f ç x_k

è

+ h, y

2 k

+ k 2 ö , k

÷

2 ø 4

= h × f (xk

+ h, yk

+ k 3).

В формулах (2, 3) использованы обозначения: h – шаг изменения аргумента х, f(x,y) – правая часть решаемого дифференциального уравнения. При вычислении значения функции в точке х_k+1 (y_k+1) по- следовательно вычисляются значения вспомогательных коэффици- ентов k₁, k₂, k₃, k₄.

Метод Рунге-Кутта является более трудоемким, чем метод Эйлера. На каждом шаге вычислительного процесса требуется четы- рехкратное вычисление правой части дифференциального уравне-

 

Задание 2. С помощью метода Рунге-Кутта получить при-

ближенное  решение уравнения y ¢ = 1 + 0.8 × y × sin x,  удовлетво-

ряющего условию y(0)=1.6 на промежутке изменения х [0,1].

Решение в табличном процессоре Microsoft Excel

В столбец А заносим значения аргумента х, при которых вы- числяется функция у(х) (рис. 5).

 

 

В соседнем столбце (В) второй строки около начального зна- чения аргумента х записываем заданное значение функции у (рис. 6). В соседних четырех столбцах (С-F) производим вычисление вспомо- гательных коэффициентов k₁, k₂, k₃, k₄ по формулам 3

 

 

 

 

Вычисление коэффициентов по формулам (3)

 

В ячейку G1 заносим значение шага изменения аргумента, который входит во все формулы. На основе вычисленных значений вспомогательных коэффициентов по формуле (2) определяем значе- ние функции при значении аргумента х =0.1 точке. Далее выделяем диапазон ячеек с формулами С2:F2, и производим копирование на диапазон изменения аргумента х до строки 12 (рис. 7).

 

 

 

 

 

Решение методом Рунге-Кутта

 

На рис. 8 представлен фрагмент таблицы Microsoft Excel с решением в режиме отображения формул.

Полученное решение можно представить графически. На основе данных в столбцах А и В строится диаграмма категории –

«точечная».

Результат построения представлен на рис. 9.

 

 

Рис. 9. Графическое представление решения