Практическое занятие №11. Трехфакторный дисперсионный анализ

основные суммы

    сумма квадратов всех наблюдений;

     сумма всех наблюдений;

Таблица 11.1. Трехфакторный равномерный дисперсионный комплекс (фактор А – 2 градации; фактор В – 2 градации; фактор С – 4 градации; n_ijk. – 2)

компоненты формул для вычисления SS:

  частное от деления квадрата суммы всех наблюдений на объем комплекса

сумма дробей, в числителях которых квадраты сумм по градациям фактора А, в знаменателях - числа наблюдений по градациям фактора А (эта и последующие формулы используются для неравномерных комплексов, в равномерных - число наблюдений по градациям фактора А константное и выносится за знак суммы), число слагаемых дробей равно числу градаций по фактору А;

сумма дробей, в числителях которых квадраты сумм по градациям фактора В, в знаменателях - числа наблюдений по градациям фактора В, число слагаемых дробей равно числу градаций по фактору В;

сумма дробей, в числителях которых квадраты сумм по градациям фактора С, в знаменателях - числа наблюдений по градациям фактора С, число слагаемых дробей равно числу градаций по фактору С;

сумма дробей, в числителях которых квадраты сумм по сочетанию градаций факторов А и В, в знаменателях - числа наблюдений по сочетанию градаций факторов А и В,число слагаемых дробей равно числу сочетаний градаций по факторам А и В, то есть произведению аb;

сумма дробей, в числителях которых квадраты сумм по сочетанию градаций факторов А и С, в знаменателях - числа наблюдений по сочетанию градаций факторов А и С, число слагаемых дробей равно числу сочетаний градаций по факторам А и C, то есть произведению аc;

сумма дробей, в числителях которых квадраты сумм по сочетанию градаций факторов В и С, в знаменателях - числа наблюдений по сочетанию градаций факторов В и С, число слагаемых дробей равно числу сочетаний градаций по факторам B и C, то есть произведению bc;

сумма дробей, в числителях которых квадраты сумм по сочетанию градаций факторов А, В и С, в знаменателях - числа наблюдений по сочетанию градаций факторов А, В и С, число слагаемых дробей равно числу сочетаний градаций по факторам A, B и C, то есть произведению аbc;

Типы варьирования переменных в трехфакторном дисперсионном комплексе. В анализируемом комплексе различают 9 типов варьирования переменных:

1) общая вариация – варьирование отдельных наблюдений (х_ijkl) вокруг средней по комплексу ();

2) вариация, связанная с влиянием фактора А – варьирование средних по градациям фактора А () вокруг средней по комплексу ();

3) вариация, связанная с влиянием фактора В – варьирование средних по градациям фактора В () вокруг средней по комплексу ();

4) вариация, связанная с влиянием фактора C – варьирование средних по градациям фактора C () вокруг средней по комплексу ();

5) вариация, связанная со взаимодействием факторов А и В – варьирование средних по сочетанию градаций факторов А и В () вокруг средней по комплексу () без учета вариации, связанной с влиянием факторов А и В;

6) вариация, связанная со взаимодействием факторов А и C – варьирование средних по сочетанию градаций факторов А и C () вокруг средней по комплексу () без учета вариации, связанной с влиянием факторов А и C;

7) вариация, связанная со взаимодействием факторов B и C – варьирование средних по сочетанию градаций факторов B и C () вокруг средней по комплексу () без учета вариации, связанной с влиянием факторов B и C;

8) вариация, связанная со взаимодействием факторов А, B и C – варьирование средних по сочетанию градаций факторов А, B и C () вокруг средней по комплексу () без учета вариации, связанной с влиянием факторов А, B и C;

9) случайная вариация отдельных наблюдений () вокруг средних по сочетанию градаций факторов А, В и C ().

Суммы квадратов отклонений (SS). В трехфакторном дисперсионном анализе вычисляются 9 сумм квадратов отклонений (SS). Формулы для их вычисления следующие (комплекс неравномерный, в равномерном комплексе знаменатель в виде дроби 1/ n, где n – константа, выносится перед суммой):

Проверка корректности вычислений:

Числа степеней свободы. Формулы для вычислений чисел степеней свободы (df):

Проверка корректность вычислений чисел степеней свободы:

Средние квадраты (ms):

Критерии Фишера (F):

Стандартные значения критерия Фишера для каждого фактора и взаимодействий. Стандартные значения критерия Фишера определяются из таблиц на 5% и 1% уровнях значимости при соответствующих чисел степеней свободы по фактору (или взаимодействию) и случайных отклонений.

Сравнение эмпирических значений критерия Фишера со стандартными и формулировка статистических выводов. Если какое-либо эмпирическое значение F > F ₀₅ и F > F ₀₁, нулевая гипотеза об отсутствии влияния данного фактора (факторов) или взаимодействия факторов отклоняется.

Если F ₀₅ < F < F ₀₁, то на 5% уровне значимости нулевую гипотезу следует отклонить, а на 5% - принять. В этом случае рекомендуется продолжить экспериментальные исследования по изучению влияния данного фактора на изменчивость переменного.

Если F < F ₀₅, то нулевая гипотеза об отсутствии влияния соответствующего фактора принимается.

Дисперсии для достоверно влияющих факторов и взаимодействий (σ ²):

Доли влияния факторов и взаимодействий (pⁱⁿ, %):

Ошибки средних по градациям факторов и по взаимодействию факторов (m_x). Ошибки вычисляются только для тех средних, по которым доказано достоверное влияние источника вариации:

Стандартные значения критерия Тьюки (Q₀₅). Критерии Тьюки определяются из таблицы по числу сравниваемых средних и числу степеней свободы случайной вариации.

Наименьшая существенная разность (НСР₀₅):

НСР₀₅ (А)=

НСР₀₅ (В)=

НСР₀₅ (С)=

НСР₀₅ (АВ)=

НСР₀₅ (АС)=

НСР₀₅ (ВС)=

НСР₀₅ (АВС)=

Гистограммы средних по градациям факторов и взаимодействий и круговая диаграмма долей влияния источников вариации. Столбчатые гистограммы строятся, для факторов и взаимодействий, достоверно влияющих на изменчивость переменного. Круговая диаграмма показывает доли влияния факторов, взаимодействий и случайной вариации

Оценка достоверности различий между средними по градациям факторов и взимодействий. Строятся матрицы разностей между средними по градациям факторов и взаимодействий. Затем разности сравниваются по абсолютной величине со значениями НСР₀₅.

Результативная таблица (табл. 11.2.):

Таблица 11.2. Результаты трехфакторного дисперсионного анализа данных об изменчивости…:

Выводы по трехфакторному дисперсионному анализу.

Пример 1. Изучали изменчивость урожайности томата в защищенном грунте (кг/м²) при малообъемной технологии в зависимости от трех факторов: массы субстрата (фактор А), интенсивности орошения (фактор В) и дозы удобрений (N,P,K) – фактор С:

Какое влияние оказывают перечисленные факторы и их взаимодействие на урожайность томата в защищенном грунте?

Решение:

1. Копируем содержание таблицы в Excel

2. Строим трехфакторный дисперсионный комплекс

3. Определим основные параметры, суммы и компоненты формул:

объем комплекса (N) = 64

число градаций по фактору А (а) = 2

число градаций по фактору В (b) = 2

число градаций по фактору С (с) = 4

число наблюдений по градации фактора А (n_i...)=32

число наблюдений по градации фактора В (n_.j..) =32

число наблюдений по градации фактора С (n_..k.) = 16

число наблюдений по сочетанию градаций АВ (n_ij..) = 16

число наблюдений по сочетанию градаций АC (n_i.k.) = 8

число наблюдений по сочетанию градаций ВC (n_.jk.) = 8

число наблюдений по сочетанию градаций AВC (n_ijk.) = 4

Σx_ijkl² =48698

4. Суммы квадратов отклонений отдельных наблюдений от средних (SS):

Трехфакторный дисперсионный комплекс изменчивости урожайности томата (кг/м²) зависимости от массы субстрата (фактор А), интенсивности орошения (фактор В) и дозы удобрений (фактор С)

Проверим корректность вычислений:

5. Вычислим числа степеней свободы (df):

Проверим корректность вычислений:

6. Вычислим средние квадраты (ms):

7. Вычислим критерии Фишера (F):

8. Определим стандартные значения критерия Фишера для каждого фактора (стат. табл. IV-V):

для фактора А: F₀₅ (df_a =1; df_z =48)=4,04; F₀₁ =7,21;

для фактора В: F₀₅ (df_b =1; df_z =48)=4,04; F₀₁ =7,21;

для фактора С: F₀₅ (df_с =3; df_z =48)=2,79; F₀₁ =4,21;

для взаимодействия факторов АВ: F₀₅ (df_ab =1; df_z =48)=4,04; F₀₁ =7,21;

для взаимодействия факторов AC: F₀₅ (df_ac =3; df_z =48)=2,79; F₀₁ =4,21;

для взаимодействия факторов ВC: F₀₅ (df_bc =3; df_z =48)=2,79; F₀₁ =4,21;

для взаимодействия факторов AВC: F₀₅ (df_abc =3 df_z =48)= 2,79; F₀₁ =4,21;

9. Сравним эмпирические значения критерия Фишера со стандартными:

F_a =396,07> F₀₁ =7,21;

F_b =55,70> F₀₁ =7,21;

F_c =14,19> F₀₁ =4,21;

F_ab =10,71> F₀₁ =7,21;

F_ac =1,03< F₀₅ =2,79;

F_bc =0,29< F₀₅ =2,79;

F_abc =1,02< F₀₅ =2,79;

10. Сформулируем статистические выводы:

по фактору А: нулевая гипотеза отклоняется на 1% уровне значимости (фактор влияет);

по фактору В: нулевая гипотеза отклоняется на 1% уровне значимости (фактор влияет);

по фактору С: нулевая гипотеза отклоняется на 1% уровне значимости (фактор влияет);

по взаимодействию факторов АВ: нулевая гипотеза отклоняется на 1% уровне значимости (взаимодействие АВ влияет);

по взаимодействию факторов АС: нулевая гипотеза принимается на 5% уровне значимости (взаимодействие АС не влияет);

по взаимодействию факторов ВС: нулевая гипотеза принимается на 5% уровне значимости (взаимодействие ВС не влияет);

по взаимодействию факторов АВС: нулевая гипотеза принимается на 5% уровне значимости (взаимодействие АВС не влияет).

11. Вычислим дисперсии (σ²):

 (взаимодействие АС не влияет)

 (взаимодействие ВС не влияет)

 (взаимодействие АВС не влияет)

12. Вычислим доли влияния факторов (pⁱⁿ%):

13. Вычислим ошибки групповых средних по факторам (m_x), ошибки вычисляются только для тех средних, по которым доказано достоверное влияние фактора:

14. Определяем критерий Тьюки (Q₀₅) по стат. табл.VI:

для фактора А: Q₀₅ (а =2; df_Z =48)=2,85

для фактора В: Q₀₅ (b =2; df_Z =48)=2,85

для фактора С: Q₀₅ (с=4; df_Z =48)=3,75

для взаимодействия факторов АВ: Q₀₅ (ab =4; df_Z =48)=3,75

15. Вычисляем НСР₀₅:

для фактора А: НСР₀₅=

для фактора В: НСР₀₅=

для фактора C: НСР₀₅=

для взаимодействия факторов АВ: НСР₀₅=

16. Сводим все данные в результативную таблицу:

Результаты трехфакторного дисперсионного анализа данных об изменчивости урожайности томата в защищенном грунте (кг/м²) в зависимости от массы субстрата (фактор А), интенсивности орошения (фактор В) и дозы удобрений (фактор С):

Источник вариации

SS

df

ms Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:   19202122232425  Сейчас читают про: Экономическое развитие Германии в XIX – начале XX века Либерализм и консерватизм в политике Александра I Требования к складским помещениям и хранению пищевых продуктов Ассортимент полуфабрикатов из птицы и их кулинарное использование Культура Древней Руси 9-12 вв. Значение принятия Русью православия в формировании культуры и ментальности русского народа Определение конфигурации сердца, размеров поперечника сердца и сосудистого пучка Самый сильный аргумент, почему эволюция человека не могла быть Из мудрости вытекают следующие три особенности: выносить прекрасные решения, безошибочно говорить и делать то, что следует © Демокрит ==> читать все изречения... 6046 5918 Понравился сайт? Поделись им с друзьями: