Активные RC – фильтры

Все фильтрующие устройства, идеальные частотные характеристики которых приведены на рис. 5.1, по своим полосам пропускания (ПП) и задерживания (ПЗ) можно разделить на пять основных групп: фильтры нижних (ФНЧ, рис. 5.1 а) и верхних (ФВЧ, рис. 5.1 б) частот, полоснопропускающие (полосовые) фильтры (ПФ, рис. 5.1 в), полоснозадерживающие (режекторные) фильтры (ПЗФ (РФ), рис. 5.1 г) и фазовые контуры (фильтры) (ФК (ФФ), рис. 5.1 д). АЧХ H (w) ФНЧ и ФВЧ имеют по одной ПП и ПЗ с граничными частотами w_Н и w_В, ПФ содержит одну ПП и две ПЗ, ПЗФ (РФ) – две ПП и одну ПЗ, АЧХ ФК (ФФ) имеет вид всепропускающей цепи, а ФЧХ (j (w)) линейно зависит от частоты, что при использовании ФК в качестве линии задержки (ЛЗ) обеспечивает постоянство группового времени запаздывания (ГВЗ) для всего диапазона частот.

Реальные фильтры реализуют идеальные ЧХ с определенной степенью точности, которая зависит от порядка (максимальной степени аппроксимирующего полинома) передаточной функции, т.е. сложности конфигурации фильтра. Например, АЧХ реального ФНЧ имеет вид рис. 5.2, где a_max характеризует максимальную неравномерность H (w) в ПП (обычно ~ 0,1…3 дБ), a_min – уровень минимального ослабления фильтруемого сигнала в ПЗ по сравнению с ПП (обычно ~ 40…80 дБ), а разность (w_З – w_П) определяет ширину переходной области (ПО) между ПП и ПЗ, причем иногда для характеристики ПО используют значение коэффициента прямоугольности АЧХ (обычно ~ 1,1…3,0).

В качестве элементной базы при реализации частотных фильтров могут быть использованы как пассивные (R, L, C), так и активные (электронные лампы, транзисторы, ОУ) элементы. Применение чисто пассивных RLC –фильтров характерно для дискретной электроники, где массогабаритные параметры не играют решающей роли. В интегральной же технике, где реализация высокодобротных индуктивностей вызывает принципиальные затруднения, более предпочтительным оказывается использование активных RC (ARC) – фильтров, где активные элементы служат для компенсации сильного затухания, вносимого пассивными RC –цепями.

Общее условие физической реализуемости (УФР) частотных фильтров в элементной базе и RLC, и ARC состоит в следующем: их передаточные функции H (p) должны быть дробно–рациональными функциями комплексной частоты р (p = s + jw – оператор Лапласа), т.е.

(5.1)

где m £ n, а D (p) – полином Гурвица, корни которого расположены в левой полуплоскости плоскости р. Поэтому первым этапом построения частотного фильтра является аппроксимация заданных требований к форме его ЧХ, т.е. получение передаточной функции в виде рационального полинома, удовлетворяющего УФР. Обычная практика при проведении этапа аппроксимации состоит в формировании требований к НЧ–прототипу реализуемого фильтра вида рис. 5.2 (т.е. определение а_max, a_min и К_П) с последующим получением его функции передачи (ФП), поскольку передаточные функции других типов фильтров (ФВЧ, ПФ, ПЗФ) могут быть получены из ФП НЧ–прототипа с помощью соответствующего преобразования частоты.

К основным типам аппроксимирующих функций относятся:

- фильтры Баттерворта, реализующие максимально гладкую АЧХ в ПП и монотонно спадающую в ПЗ (рис. 5.3 а);

- фильтры Чебышева с равноволновой АЧХ в ПП и монотонной в ПЗ (рис. 5.3 б);

- инверсные фильтры Чебышева с монотонной АЧХ в ПП и равноволновой в ПЗ (рис. 5.3 в);

- (эллиптические) фильтры Кауэра–Золотарева, имеющие равноволновую форму АЧХ в ПП и ПЗ (рис. 5.3 г).

Наименьший порядок ФП при заданных требованиях к НЧ–прототипу обеспечивают эллиптические фильтры, в чем можно убедиться на следующем примере. При а_max = 0,5 дБ, a_min = 80 дБ, расчетные значения степени аппроксимирующих полиномов Баттерворта, Чебышева и Кауэра–Золотарева составляют n_Б = 350, n_Ч = 45, n_Э = 14, т.е. реализация этого ФНЧ по Баттерворту потребует 350 реактивных компонентов (L и C), по Чебышеву – 45, а по Кауэру–Золотареву – всего 14. При этом стоит отметить, что эллиптические фильтры имеют наихудшие ФЧХ, поэтому их используют только при очень жестких требованиях к форме АЧХ фильтров с последующей коррекцией ФЧХ фазовыми контурами.

Второй этап построения частотных фильтров – реализация – предполагает определение его структурной и/или принципиальной схемы (в той или иной элементной базе), соответствующей используемому аппроксимирующему полиному Н (р) вида (5.1). Методы реализации RLC –фильтров достаточно хорошо изучены, основаны они на использовании типовых LC –звеньев с Г–, Т– или П–образной структурой, позволяющих получать стандартные конфигурации этих фильтров любого типа с любой степенью передаточной функции.

Что касается ARC –фильтров, то среди множества методов их построения наибольшее распространение получили каскадная реализация и имитация двусторонне нагруженных LC –прототипов. При каскадной реализации передаточная функция фильтра Н (р) представляется в виде произведения сомножителей не выше второго порядка, т.е.

(5.2)

где для четных степеней Н (р) число сомножителей , а для нечетных – ; при этом каждый из сомножителей соответствует либо ФП обобщенного звена второго порядка (для четных n)

(5.3)

где H ₀ _i – плоское усиление, w_Zi, Q_Zi – координаты нулей, а w_П_i, Q_П_i – координаты полюсов на плоскости комплексной частоты р, либо один из них (для нечетных n) имеет вид ФП звена ФНЧ

(5.4) или ФВЧ (5.5)

где по-прежнему Н ₀ – плоское (при w ®0 или w ®¥) усиление, s ₀ – координата полюса на отрицательной вещественной оси плоскости р. Каждому из сомножителей (5.3) – (5.5) соответствует активное RC –звено первого или второго порядка, а общая функция передачи (5.2) реализуется каскадным соединением таких звеньев (рис. 5.4) при обеспечении развязки между каскадами за счет их буферных свойств.

Типовые конфигурации реализующих ARC – звеньев первого и второго порядка на основе ОУ приведены в таблице 5.1, где соответствует передаточной функции по напряжению, а значения w_П, Q_П определяются из положения полюсов на плоскости р (рис. 5.5) согласно

(5.6)

где s _{0 П} – вещественная, а w _{0 П} – мнимая части координаты полюса. Что касается положения нулей, то ФНЧ₁ имеет один нуль при w ®¥, ФВЧ₁ – один нуль при w = 0, ФНЧ₂ – двойной нуль при w ®¥, ФВЧ₂ – двойной нуль при w = 0, а ПФ (может быть только второго порядка) – один нуль при w = 0 и один нуль при w ®¥. Параметры w_Z, Q_Z нулей с конечными значениями s ₀ _Z, w ₀ _Z определяются аналогично (5.6).

В рассмотренных структурах ARC –звеньев второго порядка (табл. 5.1) допустимые значения Q_П £ 20, для получения более высоких значений Q_П необходимо использование большего числа активных элементов (АЭ) в составе одного звена. Это связано с тем, что в ARC –схемах с одним АЭ чувствительность АЧХ H (w) к изменению параметров x_i элементов схем

Таблица 5.1.1

Тип и порядок ФП звена	Структурная схема звена	Н (р)
ФНЧ₁
ФВЧ₁
ФНЧ₂
ФВЧ₂
ПФ₂

Таблица 5.1.2

Тип и порядок ФП звена	w_П	Q_П	Н ₀
ФНЧ₁		0,5	1
ФВЧ₁		0,5	1
ФНЧ₂
ФВЧ₂			К ₀
ПФ₂

пропорциональна величине Q_П, т.е. при Q_П > 20 стабильность выходных характеристик этих звеньев оказывается недостаточной. Введение дополнительных АЭ не только устраняет эту зависимость, но и позволяет в рамках одной и той же схемы получать несколько типов фильтрующих АЧХ второго порядка. Например, ARC –звено на трех ОУ (рис. 5.6) в зависимости от точки съема выходного сигнала может реализовывать передаточную функцию как ФНЧ, так и ПФ второго порядка. Действительно, если в качестве выходного брать сигнал , то ФП звена имеет вид

(5.7)

где а если сигнал , то (5.8)

где а w_П и Q_П имеют прежние значения.

Наконец, при формировании конечной АЧХ многокаскадных ARC –фильтров возникает несколько степеней свободы, связанных с наличием у отдельных каскадов различных значений добротности, чувствительности АЧХ и плоского усиления, поэтому желательна такая структура соединения звеньев, которая обеспечит наилучшие характеристики фильтра по максимальной ширине динамического диапазона и минимальной чувствительности. Многолетняя практика реализации активных фильтров показывает, что наиболее оптимальным является соединение звеньев в порядке возрастания их добротности, причем при наличии у общей ФП конечных нулей в ПЗ (как, например, у инверсных фильтров Чебышева или эллиптических фильтров) характеристики наиболее высокодобротных звеньев должны содержать наиболее близкие к граничной частоте ПЗ нули передаточной функции. При этом, поскольку конечная АЧХ образуется произведением (в дБ – суммой) АЧХ отдельных каскадов (рис. 5.7), которые влияют на общую характеристику независимо друг от друга, то для эффективной (неитеративной) регулировки формы АЧХ всего фильтра необходимо, чтобы параметры настройки отдельных звеньев (w ₀, Q ₀, w_П, Q_П, Н ₀) управлялись независимо одним (желательно резистивным) элементом каждый, как это, например, можно осуществить для Н_ФНЧ (р) звена рис. 5.6, где согласно (5.7) значение w_П можно настраивать с помощью R ₂ или R ₃, значение Q_П – R ₁, а величину Н ₀ – R ₄.

В основу метода имитации двусторонне нагруженных LC – прототипов легли выводы общей теории чувствительности, согласно которым стабильность характеристик устройства пропорциональна количеству ОС в его структуре, что для RLC – фильтров означает независимость чувствительности их ЧХ от величины реализуемых добротностей, т.е. практически стабильность выходных параметров RLC – фильтров определяется стабильностью номиналов его пассивных компонентов R, L, C. В связи с изложенным алгоритм метода выглядит следующим образом: по заданным требованиям к форме АЧХ (ФЧХ) с соблюдением УФР определяется передаточная функция фильтра H (p), затем подбирается подходящая структура LC – прототипа с учетом сопротивлений источника сигнала (R_Г) и нагрузки (R_H), после чего следует замена элементов RLC – прототипа активными преобразователями импедансов (сопротивлений) путем либо прямой элементной имитации, либо с помощью промежуточного частотного преобразования.

При элементной имитации обычно происходит замена индуктивностей RLC – фильтра их активными эквивалентами на базе гираторов или обобщенных конверторов (ОК). Промежуточное частотное преобразование предполагает предварительное умножение импедансов всех элементов фильтра на частотозависимый коэффициент р или р ^-1, что не меняет его передаточной функции, но в некоторых случаях сильно упрощает реализацию. Для примера рассмотрим синтез структуры ФНЧ с заданными а_max» 0.1 дБ;

а_min = 45 дБ; K_П = 1.6, АЧХ которого аппроксимируется дробью Кауэра–Золотарева пятого порядка, а структура двусторонне нагруженного лестничного LC – прототипа приведена на рис. 5.8 а. Путем деления сопротивлений всех элементов на kp, где , эта схема преобразуется в эквивалентную (рис. 5.8 б), где реализация двух заземленных суперемкостей Д ₂, Д ₄(обычно имитируемых с помощью ОК) не вызывает особых затруднений.