Примеры решения задач

Пример 1

Три точечных заряда Q ₁ = 1 мкКл, Q ₂ = -2 мкКл, Q ₃ = 4 мкКл находятся на бесконечно больших расстояниях друг от друга. Найти: а) работу, которую нужно совершить, чтобы расположить заряды в вершинах правильного треугольника со стороной а = 0,1 м;
б) потенциальную энергию заряда Q ₁ после перемешения зарядов.

Дано:

а) А -? б) W_n₁ -?

Решение

После перемещения зарядов:

а) Работа А равна изменению потенциальной энергии: А = | W_n_кон - W_n_нач |.

W_nнач = 0; W_nкон = W ₁₂ + W ₂₃ + W ₁₃_;

Дж.

б) Дж.

Ответ: а) А = 0,54 Дж; б) W_n₁ =0,45 Дж.

Пример 2

Бесконечная тонкая равномерно заряженная нить имеет линейную плотность заряда Кл/м. Какую скорость приобретет электрон, переместившись из точки на расстоянии r ₁ = 0,1 м в точку на расстоянии r ₂ = 0,2 м от нити? Отношение модуля заряда электрона к его массе Кл/кг. Начальная скорость электрона равна нулю.

Дано:

Кл/м r ₁ = 0,1 м r ₂ = 0,2 м

Кл/кг υ₀ = 0

υ =?

Решение

По теореме о кинетической энергии работа , т.к. .

С другой стороны, работа А

тогда .

Из уравнения, связываюшего потенциал и напряженность электрического поля в случае цилиндрической симметрии , следует: .

Напряженность Е поля нити . Тогда скорость .

м/с.

Ответ: м/с.

Пример 3

Диэлектрический шар радиусом 0,2 м с равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда мкКл/м³. Найти разность потенциалов между точками, расположенными на расстояниях r ₁ = 0,1 м и r ₂ = 0,4 м от центра шара.

Дано: R = 0,2 м

мкКл/м³ r ₁ = 0,1 м r ₂ = 0,4 м

Решение

Связь Е и для центрально симметричного поля

Напряженность электрического поля шара в зависимости от расстояния r до центра шара

– электрический заряд шара.

В.

Ответ: В.

Пример 4

Две тонкие концентрические металлические сферы радиусами R ₁ = 0,2 м и R ₂ = 0,4 м имеют заряды Q ₁ = 200 нКл и Q ₂ = -160 нКл. Найти потенциалы электрического поля в точках А, В и С, расположенных на расстояниях r _A = 0,1 м; r _B = 0,3 м; и r _C = 0,5 м от общего центра сфер.

Дано: R ₁= 0,2 м R ₂= 0,4 м Q ₁=

Кл Q ₂=

Кл r _A = 0,1 м r _B = 0,3 м r _C = 0,5 м

Решение

Потенциал внутри первой сферы одинаков во всех точках внутри этой сферы и по принципу суперпозиции для потенциалов

Потенциал ,

где совпадает с потенциалом поля точечного заряда, равного Q ₁ и расположенного в т. О; – потенциал поля, создаваемого сферой «2» во всех точках между сферами.

В.

Потенциал в точке вне обеих сфер совпадает с потенциалом поля точечных зарядов, равных Q ₁ и Q ₂, помещенных в т. O: , где , .

Тогда

В.

Ответ: В, В, В.

Пример 5

Тонкое кольцо радиуса R = 0,3 м равномерно заряжено с линейной плотностью заряда мкКл/м. Найти работу по перемещению точечного заряда Q = 20 нКл из центра кольца вдоль оси кольца на расстояние h = 0,4 м плоскости кольца.

Дано: R = 0,3 м

Кл/м Q =

h = 0,4 м

A -?

Решение

Выберем ось координат, совпадающую с осью кольца с началом в центре кольца. Определим зависимость потенциала кольца от расстояния «Y» до его центра. По принципу суперпозиции для потенциалов

где ; м/Ф; .

Для всех зарядов dQ кольца расстояние r до точки А, в которой вычисляем потенциал, есть величина постоянная, следовательно,

, ,

Работа А по перемещению заряда Q из центра кольца в точку, расположенную на оси кольца на расстоянии h от его плоскости,

Дж.

Ответ: Дж.

Пример 6

Два электрона, находясь первоначально на бесконечном расстоянии друг от друга, движутся навстречу друг другу со скоростями, равными по величине 10 м/с. На какое минимальное расстояние сблизятся электроны?

Дано: υ₀= 10 Мм/с = 10⁷ м/с

r _m -?

Решение

По закону сохранения энергии

W ₁ = W ₂, или ,

где кг, Кл – масса и заряд электрона.

Отсюда м.

Ответ: r _m = м.

Пример 7

В условиях предыдущей задачи один из электронов первоначально покоился. Найти минимальное расстояние между электронами.

Дано:

м/с

r _m -?

Решение

а) По закону сохранения импульса или , где скорость каждого электрона в момент наибольшего сближения. Имеем .

б) По закону сохранения энергии W ₁ = W ₂, или , или .

Отсюда м.

Ответ: м.

Замечание: равенство скоростей электронов в момент их наибольшего сближения, когда потенциальная энергия их взаимодействия максимальна, означает, что их кинетическая энергия минимальна, что достигается тогда, когда скорость относительного движения минимальна, т.е. равна нулю.

Задачи для решения

2.1. Уединенному проводящему шару диаметром 30 см сообщили заряд 9×10^-8 Кл. Каким стал потенциал шара? Определить потенциал в центре шара и на расстоянии 15 см от его поверхности в воздухе.

2.2. Определить потенциал находящегося в вакууме шара радиусом 10 см, если на расстоянии 1 м от ого поверхности потенциал равен 20 В. Какой заряд сообщен шару?

2.3. До какого потенциала можно зарядить находящийся в воздухе металлический шар радиусом 3×10^-8 м, если напряженность электрического поля, при которой происходит пробой в воздухе, равна 3×10⁶В/м?

2.4. Два одинаково заряженных шарика, расположенных друг от друга на расстоянии 25 см (между центрами), взаимодействуют друг с другом с силой 10^-4 Н. До какого потенциала заряжены шарики, если их диаметры равны 1 см?

2.5. 27 маленьких капель при слиянии образовали одну каплю, потенциал которой 18 В. Каков был потенциал каждой маленькой капли до слияния?

2.6. Два точечных заряда, положительный 2,5×10^-8Кл, помещены на расстоянии 5 см друг от друга. Определить потенциал поля в точке, находящейся посредине между зарядами.

2.7. В вершинах равностороннего треугольника расположены положительные точечные заряды 2×10^-10 Кл, 4×10^-10 Кл и отрицательный заряд 2×10^-10 Кл. Найти потенциал поля в центре треугольника, если сторона его 0,4 м.

2.8. В вершинах квадрата расположены точечные заряды: положительные 10^-9 Кл, 2×10^-9 Кл и отрицательные - 3×10^-9 Кл и - 4×10^-9 Кл. Найти потенциал поля в центре квадрата, если диагональ его 20 см.

2.9. Две металлические концентрические сферы с радиусами 15 и 30 см расположены в воздухе. На внутренней сфере распределен заряд - 2×10^-9 Кл, а потенциал внешней сферы 450 В. Вычислить потенциал поля в точках, удалённых от центра сфер на 10, 20 и 38 см.

2.10. Сфера радиусом 3 см, равномерно заряженная зарядом 7×10^-8 Кл, окружена тонкой концентрической сферой радиусом 9 см. Какой заряд надо сообщить внешней сфере, чтобы потенциал внутренней сферы относительно бесконечности обратился в нуль?

2.11. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью 10 нКл/м. Определить потенциал электрического поля, создаваемого так распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

2.12. По находящейся в вакууме круглой очень тонкой пластинке радиусом r = 12 см равномерно распределен заряд 1,8×10^-8 Кл. Приняв ось пластинки за ось ОХ, вычислить в точке X = 8 см (начало оси ОХ совпадает с центром пластинки) потенциал поля.

2.13. На тонком стержне длиной i равномерно распределен заряд с линейной плотностью 10 нКл/м. Найти потенциал электрического поля в точке, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на расстояние i.

2.14. Два одноименных точечных заряда 2,5×10^-7 Кл и 4×10^-7Кл находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния 50 см?

2.15. Какую работу необходимо совершить, чтобы перенести точечный заряд 2×10^-8Кл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 10 см от поверхности проводящего шара радиусом 2 см, если потенциал шара равен 300 В? Шар находится в воздухе.

2.16. Потенциал проводящего шарика радиусом 4 см, погруженного в керосин, равен 180 В. Определить сообщённый шарику заряд. Вычислить работу, совершаемую полем при перемещении заряда 0.5×10^-10 Кл от поверхности шарика на расстояние 8 см по силовой линии поля.

2.17. Электрон, обладающий кинетической энергией 5 эВ, влетел в однородное электрическое поле в направлении силовых линий поля. Какой скоростью будет обладать электрон, пройдя в этом поле разность потенциалов 2 В?

2.18. Электрон, двигаясь в вакууме по силовой линии, полностью теряет свою скорость между точками с разностью потенциалов 400 В. Определить скорость электрона при попадании его в электрическое поле.

2.19. Электрон с энергией 100 эВ (в бесконечности) движется вдоль силовой линии по направлению к поверхности металлической отрицательно заряженной сферы радиусом 5 см. Определить минимальное расстояние, на которое приблизится электрон к поверхности сферы, если заряд её – 10^-9 Кл.

2.20. Пылинка массой 10^-9 г, несущая на себе 5 избыточных электронов, прошла в вакууме ускоряюшую разность потенциалов 3×10⁸ В. Какова кинетическая энергия пылинки? Какую скорость приобрела пылинка?

2.21. Пылинка массой 200×10^-6 г, несущая на себе заряд 40 нКл, влетела в электрическое поле в направления силовых линий. После прохождения разности потенциалов 200 В пылинка имела скорость 100 м/с. Определить скорость пылинки до того, как она влетела в поле.

2.22. Определить потенциал электрического поля в центре полусферы радиусом 0,1 м, заряженной равномерно с поверхностной плотностью 0,2 мкКл/м².

2.23. Тонкий стержень длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью 0,1 мкКл/м. Найти потенциал электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведенному через его середину, на расстоянии 10 см от стержня.

2.24. Найти потенциал электрического поля незаряженной проводящей сферы радиусом 0,1 м, вне которой на расстоянии 0,1 м от поверхности сферы находится точечный заряд 20 нКл.

2.25. Точечный заряд 50 нКл находится на расстоянии 5 см от центра незаряженного сферического слоя проводника, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно 10 см и 20 см. Найти потенциал в центре сферического слоя.

2.26. Капля масла диаметром 0,01 мм удерживается между горизонтальными пластинами, расстояние между которыми равно 25 мм. Какой заряд находится на капле, если разность потенциалов между пластинами равна 3,6×10⁴В? Плотность масла 900 кг/м³.

2.27. Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на расстоянии 1 см друг от друга, на нити висит заряженный бузиновый шарик массой 0,1 г. После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В, нить с шариком отклонилась на угол l0⁰. Найти заряд шарика.

2.28. Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, приложена разность потенциалов 150 В.
К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка фарфора
(e = 6) толщиной 3 мм. Найти напряженность электростатического поля в воздухе и фарфоре.

2.29. Напряженность однородного электрического поля в некоторой точке равна 600 В/м. Вычислить разность потенциалов между этой точкой и другой, лежащей на прямой, составляющей угол 60⁰ с направлением вектора напряженности. Расстояние между точками равно 2 мм.

2.30. Сплошной шар из диэлектрика (e = 3) радиусом 10 см заряжен с объемной плотностью 50 нКл/м³. Вычислить разность потенциалов Dj между центром шара и точками, лежащими на его поверхности.

2.31. Слой диэлектрика толщиной 5 см равномерно заряжен с объемной плотностью заряда 10^-6 Кл/м³. Найти разность потенциалов между поверхностью слоя и его серединой (e = 3).

2.32. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью 10 нКл/м². Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на расстоянии 10 см.

2.33. Две параллельные плоскости, заряженные с поверхностными плотностями, положительной 2 мкКл/м² и отрицательной – 0,8 мкКл/м², находится на расстоянии 0,6 см друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями.

2.34. Электрическое поле образовано бесконечно длинной нитью, заряженной с линейной плотностью 20 нКл/м. Определить потенциал точки поля, отстоящей от нити на расстоянии 8 см.

2.35. Сплошной шар из диэлектрика (e = 2) радиусом 5 см равномерно заряжен с объемной плотностью заряда 2 мкКл/м³. Определить разность потенциалов между поверхностью шара и точкой, лежащей на расстоянии 10 см от центра шара.

2.36. Шар из диэлектрика (e = 6) равномерно заряжен с объемной плотностью заряда 10^-9 Кл/м³. Определить разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях 5 см и 10 см от центра, если радиус шара 8 см.

2.37. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом 3 см, равномерно заряженным по объему с плотностью заряда 10^-6Кл/м³. Найти разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях 1 см и 2 см от оси цилиндра. Принять e = 1.

2.38. Металлический шар радиусом 5 см несет заряд 1 нКл. Шар окружен слоем эбонита (e = 3) толщиной 2 см. Вычислить разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях соответственно 6 см и 8 см от центра шара.

2.39. Плоская стеклянная пластинка (e = 7) толщиной 2 см заряжена равномерно с объемной плотностью заряда 10 мкКл/м³. Найти разность потенциалов между точкой, лежащей на поверхности пластины, и точкой, находящейся внутри пластины на расстоянии 0,5 см от поверхности.

2.40. Эквипотенциальная поверхность проходит через точку поля напряженностью 5 кВ/м, отстоящую на расстоянии 2,5 см от точечного заряда, создающего поле. На каком расстоянии от заряда нужно провести другую эквипотенциальную поверхность, чтобы разность потенциалов между поверхностями была равна 25 В?

2.41. Металлический шар радиусом 2 см с зарядом 3×10^-8Кл окружен вплотную примыкающим к нему концентрическим слоем парафина (e =25), наружный радиус которого 4 см. Найти разность потенциалов между точками, находящимися на расстоянии 1 см и 5 см от центра шара.

2.42. Длинный цилиндр из диэлектрика (e = 2) равномерно заряжен по объему с плотностью заряда 2 мкКл/м³. Найти разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии 1 см и З см от оси цилиндра, если радиус цилиндра равен 2 см.

2.43. Заряд 0,5 нКл равномерно распределён на поверхности полого металлического шарика радиусом 2,5 см. Найти потенциал электрического поля в центре, на поверхности шарика и на расстоянии 5 см от центра.

2.44. В однородном электрическом поле две точки расположены на расстоянии 3 мм друг от друга на прямой, составляющей угол 30⁰с направлением силовых линий. Найти напряжённость поля, если разность потенциалов между точками равна 2 В.

2.45. Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого имеет вид j = , где – постоянный вектор; – радиус-вектор точки поля.

2.46. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях 0,5 см и 2 см от поверхности цилиндра вблизи средней его части.

2.47. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобрел скорость 10⁵ м/с. Расстояние между пластинами 8 мм. Найти: 1) разность потенциалов между пластинами; 2) поверхностную плотность заряда d на пластинах.

2.48. Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой. Разность потенциалов между пластинами 3 кВ, расстояние между пластинами 0,8 см. Найти скорость, с которой электрон подходит ко второй пластине, и поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора.

2.49. В однородное электрическое поле напряженностью 2 кВ/м влетает вдоль силовой линии электрон со скоростью 2×10⁶м/с. Определить расстояние, пройденное электроном до точки, в которой его скорость будет равна половине начальной.

2.50. Протон влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора параллельно пластинам со скоростью 4×10⁶ м/с. На сколько приблизится протон к отрицательно заряженной пластине за время движения внутри конденсатора, если расстояние между пластинами 1 см, разность потенциалов 200 В и длина пластин 10 см.

2.51. Круглая тонкая пластинка радиусом R=0,2 м равномерно заряжена с поверхностной плотностью d=0,1 мкКл/м². Найти потенциал электрического поля на оси пластинки на расстоянии h=0,2 м от ее центра.

2.52. Определить потенциал электрического поля на краю тонкого диска радиусом R=20 см, по которому равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью d=0,02 мкКл/м².

2.53. Тонкое кольцо с внутренним радиусом 5 см и внешним 10 см равномерно заряжено с поверхностной плотностью 2 мкКл/м². Найти потенциал электрического поля в точке, расположенной на оси кольца на расстоянии 10 см от плоскости кольца.

2.54. Расстояние между закреплёнными точечными зарядами (отрицательным 10 нКл и положительным 20 нКл) равно 10 см. Частица массой 5×10^-6 г, имеющая заряд 25 нКл, летит по прямой, соединяющей закрепленные заряды, со стороны отрицательного заряда. Какую наименьшую скорость должна иметь частица на большом расстоянии от зарядов, чтобы достичь отрицательного заряда?

2. 55. Частица массой 0,1 мг, имеющая заряд 40 нКл, движется по оси заряженного тонкого кольца, приближаясь к нему. Какую наименьшую скорость должна иметь частица на очень большом расстоянии от кольца, чтобы пролететь сквозь него? Масса кольца равна 0,5 мг, его радиус 0,5 см, а заряд 200 нКл. Кольцо не закреплено.

2.56. Определить вектор напряженности электрического поля, потенциал которого зависит от координат x, у по закону: а) j = а×(х² - у²); б) j = а×x×у, где а – постоянная.

2.57. Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид j = а×(x²- y²) + b×z², где а и b – постоянные (а > 0 и b > 0). Найти вектор напряженности поля (модуль и направление). Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности?

2.58. Найти потенциал j(x,y) электростатического поля = а× (y× + x× ), где а – постоянная; и - орты осей х и у.

2.59. Определить потенциал j(х,у) электростатического поля = 2×а×х×у× + а× (х²– у²) × , где а – постоянная; и – орты осей х и у.

2.60. Между двумя большими параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на расстоянии 0,5 см, находится равномерно распределенный объемный заряд. Разность потенциалов пластин равна 120 В. При каком значении объемной плотности заряда напряженность поля вблизи одной из пластин будет равна нулю? Какова будет при этом напряженность поля у другой пластины?

3. КОНДЕНСАТОРЫ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Основные формулы

Электроёмкость конденсатора

где Q – заряд конденсатора (т.е. заряд одной из его пластин); Δφ – разность потенциалов; U – напряжение на конденсаторе.

Электроёмкость плоского конденсатора

где ε ₀ = Ф/м – электрическая постоянная; ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего конденсатор; S – площадь одной пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами.