Момент импульса. Основное уравнение динамики

 ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.

Пусть положение материальной точки относительно некоторой т. 0., характеризуется радиус-вектором . Моментом импульса м.т. относительно т.0 называется вектор

Учитывая, что  последнее уравнение можно записать:

 

 

Если , то L = rp = rmv. Но v = rw.

Подставив, получим

 (кг^. м²/с).

, ().

 

Продифференцируем по времени выражение  и учтём, что  которая совпадает по направлению с . ().

Т.к. , то  или .- скорость изменения момента импульса равна суммарному моменту сил действующих на материальную точку.

Подставим в это уравнение , получим

.

Если применим это уравнение ко всему телу, а не к одной точке, то придётся просуммировать все моменты инерции и все моменты сил. Получим:

 - полный момент всех внешних сил, действующих на плечо, относительно оси. При этом суммировании учитывается знак момента силы. Считается положительным такой момент силы, если точка приложения силы обходит ось по часовой стрелке и отрицательным – если против часовой стрелки.

 - момент инерции тела. Как видно, он равен сумме моментов инерции отдельных материальных точек, образующих тело.

Окончательно получаем:

 

 

Это основное уравнение динамики вращательного движения. Угловое ускорение, полученное вращающимся телом, прямо пропорционально суммарному моменту сил, действующих на это тело и обратно пропорционально моменту инерции тела.

 

Момент инерции J – свойство тела к изменению угловой скорости под действием момента внешних сил. (Демонстрация рис.4).

 

 

 - момент импульса  тела относительно любой неподвижной точки 0.

Изменение момента импульса тела в единицу времени относительно любой неподвижной т. 0 равно главному моменту всех внешних сил, приложенных к телу, относительно той же точки 0.

Разные тела под влиянием равных моментов сил M = const получают одинаковые угловые ускорения, если одинаковы их моменты инерции J. Т.о. различные силы эквивалентны в смысле вызываемого ими изменения угловой скорости, если равны их моменты М.