Рисунок 5. Расчетная схема системы

В соответствии с расчетной схемой составляются топологические и компонентные уравнения элементов, из которых получают математическую и структурную модели системы.

Порядок моделирования:

- разделить систему на элементы с использованием принципа Даламбера;

- составить топологические и компонентные уравнения элементов;

- составить математическую модель системы;

- составить граф-связи по элементам и системы в целом;

- составить структурную модель системы;

- определить передаточные функции элементов модели в общем виде.

2.3.1. Составление математической модели

В соответствии с принципом Даламбера система разбивается на отдельные элементы со всеми внутренними связями и внешними воздействиями. Данная система состоит из двух элементов, для каждого из которых изображается расчетная схема (рисунок 6).

Расчетные схемы

а) б)

Рисунок 6. Первый (а) и второй (б) элементы системы.

По соответствующей расчетной схеме составляются топологическое и компонентные уравнения элемента.

Первый элемент.

Этот элемент (рис. 6а) представлен сосредоточенной массой m ₁, внешним силовым воздействием P, упругой C ₁ связью со вторым элементом. Вначале составляется топологическое уравнение равновесия сил:

где: F _и– сила инерции элемента, F _у – упругая сила.

Далее для каждого из слагаемых уравнения кроме внешнего воздействия, составляются компонентные уравнения:

Сила инерции

Сила упругости

где: V – скорость движения, Δ x – перемещение, Δ x = x – x ₁, где x, x ₁–линейные перемещения первого и второго элементов соответственно.

Данные уравнения подставляются в топологическое, слагаемые группируются относительно переменных, внешнее воздействие переносится в правую часть. В левой части переменные следует расположить в порядке убывания производной, что соответствует нормальной форме записи дифференциальных уравнений. В результате уравнение равновесия элемента примет вид:

Аналогично составляется уравнение второго элемента.

Второй элемент.

Этот элемент (рис. 6б) представлен массой m ₂. На элемент воздействуют внутренние силы от упругой связи C ₁ с первым элементом и сила Q (рисунок 6). Вначале составляется топологическое уравнение равновесия моментов

Далее для каждого из слагаемых уравнения составляются компонентные уравнения. Момент инерции

Момент упругой связи

момент внутренней связи

Первый и второй элементы связаны с неподвижной базовой частью упругой и диссипативной связями через рычаг (рисунок 7):

Рисунок. 7. Расчетная схема связи с неподвижной базовой частью.

Уравнение равновесия сил:

Компонентные уравнения:

упругая связь

диссипативная связь

Передача движения между элементами в системе описывается уравнениями: , , .

2.3.2. Составление структурной модели

Графы связей системы (рисунок 8) строятся так же, как и математическая модель, отдельно по элементам системы, которые затем объединяются в единый граф. Как было указано выше, построения графа начинают с топологического уравнения, затем используют компонентные для формирования переменных.

Рисунок 8. Граф связей системы.

Структурная модель системы (рисунок 9) строится на основе графа связей, при этом алгебраические выражения изображаются суммирующими элементами, стрелки связей заменяются соответствующими передаточными функциями. В модели P – вход, х – выход.

Рисунок 9 ‑ Структурная модель системы.

Передаточные функции соответствующих связей определяются выражениями в соответствии с компонентными уравнениями. Здесь буквой s обозначен символ преобразования Лапласа. Ранее он был обозначен буквой р.

Передаточные функции элементов: