Уравнения Максвелла и сила Лоренца

Опыт показывает, что в материальной среде имеют место уравнения Максвелла для электромагнитного поля, определяемого через задание напряженностей электрического и магнитного полей. Эти уравнения в наиболее общей форме имеют вид:

Здесь и далее дивергенция векторного поля _{определяется} соотношением

а ротор (циркуляция) –

где – единичные орты в декартовой системе координат.

Необходимо отметить, что, с точки зрения экспериментального подтверждения справедливости уравнений Максвелла, входящие в эти

74

уравнения величины следует понимать как средние значения. Однако в силу линейности уравнений Максвелла обычно предполагается, что система уравнений (3.3.1) имеет место и в отношении микроскопических значений напряженностей электрического и магнитного полей, а также плотности заряда и плотности электрического тока, микроскопические выражения для которых в рамках классической механики были представлены в предыдущем параграфе (см. (3.2.1) и (3.2.16)). Кроме того, как было отмечено во Введении, уравнения Максвелла инварианты во всех инерциальных системах отсчета. При этом изменения координат и времени определяются преобразованиями Лоренца. Обратим внимание, что из уравнений Максвелла непосредственно следует уравнение непрерывности (3.2.12) для зарядов. Действительно, образуя дивергенцию от первого уравнения в (3.3.1), находим:

Подставляя сюда выражение для величины из последнего уравнения в (3.3.1), получаем уравнение непрерывности (3.2.12).

Для решения электродинамических задач система уравнений (3.3.1) должна быть дополнена начальными и граничными условиями для напряженностей электрического и магнитного полей. Граничные условия обычно выводят из самих уравнений Максвелла путем их интегрирования по бесконечно тонкому пограничному слою раздела двух материальных сред.

Кроме того, система уравнений (3.3.1) приобретает конкретное физическое содержание, если ясен физический смысл входящих в нее величин. Физическое содержание напряженностей электрического и магнитного полей в классической теории определяется выражением для силы Лоренца, действующей со стороны электромагнитного поля на точечный заряд, движущийся со скоростью:

Первое слагаемое в правой части (3.3.3) определяет силу, с которой действует на заряд электрическое поле. Эта сила не зависит от скорости заряда и ориентирована по направлению поля. Второе слагаемое определяет силу, с которой магнитное поле воздействует на заряд. Эта сила пропорциональна скорости заряда и направлена перпендикулярно к этой скорости и к направлению магнитного поля.

75

С учетом (3.3.3) нетрудно записать уравнение движения заряда в электромагнитном поле:

Для скоростей, малых по сравнению со скоростью света, импульс приближенно равен своему классическому выражению, и уравнение движения (3.3.4) принимает вид:

Учитывая (2.4.6), рассмотрим изменение кинетической энергии заряженной частицы со временем, т.е. производную

Нетрудно убедиться, что с учетом (2.4.2)

Тогда подставляя в (3.3.7) из (3.3.4) и замечая, что, находим:

Изменение кинетической энергии со временем есть работа, произведенная электромагнитным полем над заряженной частицей в единицу времени. Из (3.3.8) следует, что эта работа равна произведению заряда на силу, с которой действует на него электрическое поле. Действительно, работа электрического поля за время, т.е. при перемещении заряда на расстояние, равна.

Подчеркнем, что работу над зарядом производит только электрическое поле. Магнитное поле не производит работу над движущимся в нем зарядом. Это связано с тем, что сила, с которой магнитное поле действует на заряженную частицу, всегда перпендикулярна к ее скорости.

76