Энергия электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга

Соотношение (3.3.8), связывающее изменение кинетической энергии заряженной частицы с воздействием на нее электромагнитного поля, наряду с уравнениями Максвелла (3.3.1), являются основой для установления явного выражения для энергии электромагнитного поля.

Действительно, умножим обе части первого уравнения в (3.3.1) на величину электрического поля, а обе части третьего уравнения в (3.3.1) на величину магнитного поля. Складывая полученные выражения, находим

Далее используем известную формулу векторного анализа

Из (3.4.1), (3.4.2) непосредственно следует

Векторное поле

принято называть вектором Пойнтинга. Тогда соотношение (3.4.3) принимает вид

Интегрируя равенство (3.4.5) по некоторому объему и применяя ко второму члену в правой части (3.4.5) теорему Гаусса, получаем:

77

где – площадь поверхности, ограничивающей объем. Если интегрирование в (3.4.6) производится по всему объему, то значение интеграла по замкнутой поверхности считается равным нулю, исходя из предположения, что электромагнитное поле на бесконечно удаленной поверхности равно нулю.

Далее, учитывая определение (3.2.16) для плотности электрического тока, находим

Тогда согласно (3.3.8)

В результате при рассмотрении неограниченного пространства соотношение (3.4.6) принимает вид

Таким образом, для замкнутой системы, состоящей из заряженных частиц и электромагнитного поля, сохраняется величина, стоящая в равенстве (3.4.9) в фигурных скобках. Учитывая, что второй член в этих скобках есть кинетическая энергия заряженных частиц, приходим к выводу, что первый член в скобках есть энергия самого электромагнитного поля. Следовательно, величина

представляет собой плотность энергии электромагнитного поля или энергию поля, приходящуюся на единицу рассматриваемого объема.

При рассмотрении системы, находящейся в конечном объеме, поверхностный интеграл в (3.4.6), строго говоря, не обращается в нуль, так что

78

где теперь во втором члене в фигурных скобках суммирование производится только по тем частицам, которые находятся в объеме. При этом в левой части равенства (3.4.11) стоит изменение полной энергии электромагнитного поля и заряженных частиц в единицу времени. Поэтому поверхностный интеграл следует рассматривать как поток энергии поля через поверхность, ограничивающую данный объем.

Таким образом, вектор Пойнтинга (3.4.4) представляет собой плотность этого потока – количество энергии электромагнитного поля, протекающего в единицу времени через единицу поверхности.

Электростатическое взаимодействие. Закон Кулона. Дипольный момент

Для постоянного по времени электрического (электростатического) поля уравнения Максвелла (3.3.1) имеют вид:

Из (3.5.1) следует, что электростатическое поле можно выразить через один только скалярный потенциал соотношением

Подставляя (3.5.2) в (3.5.1), находим уравнение, которому удовлетворяет потенциал постоянного во времени электрического поля:

Это уравнение носит название уравнения Пуассона. В пустоте, т.е. в отсутствие зарядов, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:

Определим теперь поле, создаваемое точечным зарядом. Из соображений симметрии ясно, что напряженность поля будет

79

направлена в каждой точке по радиус-вектору, проведенному из точки нахождения заряда. Из тех же соображений абсолютная величина будет зависеть только от расстояния от точки рассмотрения электрического поля до точки нахождения заряда. Для нахождения этой абсолютной величины применим уравнение (3.4.1) в интегральной форме (см. (3.2.10)):

Другими словами, поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся в объеме, ограниченном этой поверхностью, умноженному на. Следовательно, поток электрического поля через шаровую поверхность с радиусом, проведенную вокруг заряда, равен. С другой стороны, этот поток равен. Таким образом,

или в векторном виде:

Соотношение (3.5.6) выражает закон Кулона для электрического поля с потенциалом, создаваемым точечным зарядом,

Если мы имеем систему зарядов, то создаваемое ею поле, согласно принципу суперпозиции, равно сумме полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Потенциал такого поля в точке с радиус- вектором равен

где – радиус-вектор для точечного заряда, – радиус- векторы от зарядов к точке пространства, где определяется потенциал электрического поля.

Рассмотрим поле, создаваемое системой зарядов на расстояниях, которые существенно превышают размеры рассматриваемой системы. С этой целью используем систему координат, точка отсчета которой

80