2020-10-11
114
Линеаризованной в малом системы
Для исследования влияния параметров МС на потенциальную энергию использовалась формула (1.1), а на характеристику восстанавливающей силы − (1.2). При этом номинальные параметры МС (табл. 1.1) 
и 
уменьшались и увеличивались в 2 раза (рис. 1.1 а и 1.1 б), а 
− уменьшалось в 2 раза, а увеличивалось для наглядности в 5 раз (рис. 1.1 в).
Для того чтобы все кривые потенциальной энергии проходили через начало координат, из выражения (1.1) вычиталось содержащееся в ней слагаемое 
, которое не зависит от обобщённой координаты 
.
а)
| 
б)
| 
в)
|
Рис. 1.2. Влияние параметров МС на точную потенциальную энергию системы:
− жёсткости пружины 
: 
; 
;
− расстояния 
: 
; 
; 
;
− начального натяжения : 
; 
; 
а)
| 
б)
| 
в)
|
Рис. 1.3. Влияние параметров МС на точную характеристику восстанавливающей силы:
− жёсткости пружины : ; ;
− расстояния : ; ; ;
− начального натяжения : ; ;
Определение диапазона параметров линейности
МС на рис. 1.1 является нелинейной системой. Отклонения графиков потенциальной энергии от параболы, а восстанавливающей силы от прямой, начинаются сразу при отклонении обобщённой координаты от нуля. Поэтому нужно принять какую-то величину отклонения линеаризованных кривых от точных нелинейных, в пределах которой систему допустимо считать линейной. Обычно эта величина отклонения составляет 
. Графики на рис. 1.2 и 1.3 показывают, что наиболее круто семейства характеристик проходят при 
; 
; и 
. Построим для МС с такими параметрами точные и линеаризованные графики потенциальной энергии и восстанавливающей силы (рис. 1.4).
a)
| 
б)
|
Рис. 1.4. Сравнение точных и линеаризованных характеристик при специальном сочетании параметров , и : − потенциальной энергии; − восстанавливающей силы
Найдём допустимый диапазон обобщённой координаты 
, в котором с заданной погрешностью 
нелинейную МС на рис. 0.1 можно считать линейной. Для этого варьируя обобщённую координату, вычислим соответствующее расхождение между 
, 
и 
, 
.
,
.
Выводы
1. Увеличение жёсткости пружины и её начального натяжения в рассматриваемой МС сужает допустимый отрезок обобщённой координаты , на котором систему с заданной точностью можно считать линейной. Жёсткость линейной системы прямо зависит от жёсткости пружины и от её начального натяжения.
2. Уменьшение расстояния между опорами при сохранении жёсткости пружины также сужает допустимый отрезок обобщённой координаты , на котором систему с заданной точностью можно считать линейной. Жёсткость системы обратно зависит от расстояния между опорами.
3. При наиболее неблагоприятном сочетании параметров , , из рассматриваемых диапазонов их изменения с погрешностью 
за диапазон линейности можно принять отрезок изменения обобщённой координаты 
.
