2020-10-12
87
1) Скалярное произведение двух векторов обладает переместительным свойством:
.
2) Скалярное произведение обладает распределительным свойством и сочетательным свойством относительно скалярного множителя:
, 
.
Пример 1.
Найти угол между векторами 
и 
.
Решение.
.
Пример 2.
Определить, при каком 
вектор 
перпендикулярен вектору 
.
Решение.
Пример 3.
Вычислить проекцию вектора 
на вектор 
, если 
и 
.
Решение.
Упражнения.
1.Векторы 
и 
образуют угол 
; зная, что 
.
Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
.
2.Даны векторы 
.
Вычислить: 1) ; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) ; 6) .
3. Вычислить косинус угла, образованного векторами 
и 
.
4. Даны вершины треугольника 
и 
.
Определить его внутренний угол при вершине А.
5. Вектор 
, коллинеарный вектору 
, образует острый угол с осью OZ. Зная, что 
, найти его координаты.
6. Вычислить проекцию вектора 
на ось вектора 
.
7. Даны две точки 
и 
.
Вычислить проекцию вектора 
на ось вектора 
.
8.Найти модуль вектора 
, если 
и векторы 
образуют друг с другом углы 
.
9.При каких значениях m векторы 
и 
перпендикулярны?
10. Даны три последовательные вершины параллелограмма: 
. Найти его четвертую вершину D и угол между векторами 
и 
.
§6. Векторное произведение векторов.
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор обозначаемый символом 
и определяемый следующими тремя условиями:
1) Модуль вектора 
равен 
, где 
- угол между векторами и , т.е. 
;
2) вектор перпендикулярен к каждому из векторов 
и ;
3) направление вектора таково, что упорядоченная тройка векторов 
является правой (т.е. если «смотреть» с конца вектора 
, то вращение от к по кратчайшему пути совершается против движения часовой стрелки).
Замечание. Если один из векторов 
и нулевой, то полагаем 
Свойства векторного произведения.
1. 
.
2. 
.
3. 
4. Если и коллинеарны, то
Геометрический смысл модуля векторного произведения: длина векторного произведения численно равна площади 
параллелограмма, построенного на векторах и 
как на сторонах.
Пример 1.
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
как на сторонах, если 
и угол между векторами и равен .
Решение.
Площадь S искомого параллелограмма равна модулю векторного произведения.
Упражнения.
1. Векторы 
и образуют угол 
. Зная, что 
, вычислить 
.
2. Даны 
и 
. Вычислить .
3. Векторы и взаимно перпендикулярны. Зная, что 
, вычислить: 1) 
; 2) 
.
Векторное произведение в координатной форме.
Пусть даны два вектора 
и 
.
Векторное произведение равно:
Учитывая свойство 4,получаем 
Тогда
Разности, стоящие в скобках, представляют собой определители второго порядка.
Поэтому
Полученное выражение на основании формулы разложения определителя третьего порядка по элементам первой строки можно символически записать в виде:
.
Следствие. Площадь треугольника, построенного на векторах 
и как на сторонах, определяется равенством:
.
Пример.
Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках 
, 
, 
.
Решение.
Рассмотрим векторы 
и 
, совпадающие со сторонами треугольника: 
; 
.
Найдем сначала их векторное произведение:
.
.
Упражнения.
1. Даны векторы 
и 
. Найти координаты векторных произведений:
1) ; 2) 
; 3) 
.
2. Даны точки 
и 
. Вычислить площадь треугольника 
.
3.Даны вершины треугольника 
и 
. Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону АС.
4. Вычислить синус угла, образованного векторами 
и 
.
5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
