2020-10-12
907
Смешанным произведением векторов 
называется число 
, равное скалярному произведению вектора 
на вектор 
:
.
Свойства смешанного произведения векторов:
1. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из векторов равен 
, или все три вектора параллельны одной плоскости (компланарны).
2. 
.
3. Смешанное произведение некомпланарных ненулевых векторов 
, по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на векторах .
Пусть 
, 
, 
.
Смешанное произведение в координатной форме имеет вид:
.
Докажем это утверждение.
Так как 
то, используя формулу для скалярного произведения, получим
Полученное выражение является разложением определителя третьего порядка по элементам третьей строки:
Условие компланарности векторов :
Пример.
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах 
:
, 
, 
.
Решение.
.
, откуда окончательно имеем 
.
Упражнения.
1. Даны три вектора 
. Вычислить 
.
2. Установить, компланарны ли векторы , если
1) 
,
2) 
.
3. Доказать, что четыре точки 
лежат в одной плоскости.
4. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках 
.
5. Даны вершины тетраэдра: 
.
Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.
§ 8. Прямая на плоскости.
Уравнение прямой 
по заданным точке 
и угловому коэффициенту 
(где 
- угол между прямой и осью 
):
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом 
.
Если 
, то прямая 
параллельна оси 
и ее уравнение имеет вид 
.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 
и 
:
.
При равенстве нулю одного из знаменателей условимся считать равным нулю и соответствующий числитель.
Уравнение прямой по точке 
и направляющему вектору 
:
.
Общее уравнение прямой 
.
а) при 
прямая проходит через начало координат;
б) при 
прямая параллельна оси 
;
в) при 
прямая параллельна оси 
;
г) при 
- ось ;
д) при 
- ось .
Уравнение прямой в отрезках на осях:
,
где a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
Задачи.
1. Построить прямую, отсекающую на оси отрезок 
и составляющую с осью 
угол 
.
2. Построить прямую, проходящую через начало координат и точку 
.
3. Определить параметры k и b для каждой из прямых:
1) 
; 2); 3) 
; 4) 
.
4. Построить прямые:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
5. Уравнения прямых:
1) 
; 2) 
, привести к виду в отрезках на осях.
6.Определить, какие из точек 
лежат на прямой 
и какие не лежат на ней.
§ 9. Задачи для контрольных работ.
Задание 1.
Вычислить определитель третьего порядка:
;
k-номер варианта.
варианта.
Задание 2.
Векторы 
и 
образуют угол 
. Найти длину вектора 
, если 
.
к- номер варианта.
Задание 3.
Коллинеарны ли векторы 
и 
, если
k-номер варианта.
Задание 4.
Даны вершины треугольника 
. Найти площадь треугольника АВС.
k- номер варианта.
Задание 5.
Компланарны ли векторы
.
k-номер варианта.
Задание 6.
Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках A,B,C,D и длину высоты, опущенной из вершины D.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
