Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса — Остроградского

 

S

Пусть имеем однородное электрическое поле

(напряженность которого одинакова во всех

точках пространства) с напряженностью ,

которое пронизывает некоторую плоскую поверхность площади S, тогда скалярное произведение  будет называться

потоком вектора напряженности  через поверхность S, т.е.     

,                       (1)

где — есть вектор, равный произведению величины площади на нормаль к этой поверхности, Е_n -проекция вектора  на нормаль,  к площадке.

 

В общем случае поле может быть неоднородным, поверхность неплоской. В этом случае поверхность можно мысленно разбить на бесконечно малые элементарные площадки dS, которые можно считать плоскими, а поле вблизи них однородным. В таком случае поток через элементарную площадку     

.                       (2)

Полный поток вектора напряженности через поверхность S

                          .                   (3)

Найдем поток вектора напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом q, через сферическую поверхность радиуса r.

 Площадь ее поверхности . Силовые линии электрического поля, (см. рис. 2), идут по радиусам к поверхности сферы и поэтому угол между векторами  и равен нулю.

. (4)

Можно показать, что поток через замкнутую поверхность не зависит от формы поверхности и от расположения  зарядов в ней.

 

 

Теорема Гаусса — Остроградского:

"ПОЛНЫЙ ПОТОК ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПРОИЗВОЛЬНУЮ ЗАМКНУТУЮ ПОВЕРХНОСТЬ РАВЕН АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЕ ЗАРЯДОВ, ОХВАТЫВАЕМЫХ ЭТОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ, ДЕЛЕННОЙ"

.                            (5)

Из теоремы Гаусса — Остроградского вытекают следствия:

1) линии вектора  (силовые линии) нигде кроме зарядов, не начинаются и не заканчиваются: они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность для положительного заряда, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на отрицательном заряде;

2) если алгебраическая сумма зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью, равна нулю, то полный поток через эту поверхность равен нулю;

3) если замкнутая поверхность проведена в поле так, что внутри нее нет зарядов, то число входящих линий вектора напряженности равно числу выходящих и поэтому полный поток через такую поверхность равен нулю.