Методи розрахунку електричних кіл постійного струму

1.4.1 Метод рівнянь Кірхгофа

1.4.1.1 Режим роботи електричного кола довільної конфігурації цілком визначається першим і другим законами Кірхгофа.

Закон балансу струмів у вузлах кола (перший закон Кірхгофа): алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює нулеві, або

Перший закон Кірхгофа застосовують до вузлів електричного кола, до замкнутих поверхонь перетинів електричних схем, до вершин спрямованих графів цих схем. При складанні рівнянь за першим законом Кірхгофа спочатку обирають довільні напрямки струмів в усіх вітках електричного кола, складають його граф. У рівняннях струми, що виходять із вузла, записують зі знаком "+". Якщо до наданого вузла приєднане джерело струму, струм цього джерела також потрібно врахувати. Кількість вузлових рівнянь повинна бути на одиницю менше, ніж кількість вузлів, що входять до складу дерева графа досліджуваного електричного кола.

1.4.1.2 Закон балансу напруги у контурах (другий закон Кірхгофа) формулюється таким чином: у будь-якому контурі алгебраїчна сума Е.Р.С. дорівнює алгебраїчній сумі спадань напруги на елементах контуру, або   .

Другий закон Кірхгофа застосовують до незалежних контурів електричних кіл. При складанні рівнянь за другим законом Кірхгофа варто спочатку задати напрямок обходу кожного незалежного контуру досліджуваного електричного кола. У контурному рівнянні напругу на опорах гілок контуру (і також Е.Р.С.) записують зі знаком "+", якщо напрямок обходу контуру збігається із напрямком струму в гілках (із напрямком Е.Р.С.). При розбіжності напрямку обходу контуру із напрямком струму у гілці (або із напрямком Е.Р.С.) ці величини записують зі знаком "–".

Кількість незалежних контурів (контурних рівнянь) дорівнює кількості гілок зв'язку, що доповнюють дерево графа до повної схеми.

1.4.1.3 Приклад розв’язку

Надано електричне коло, що зображене на рисунку 1.1, має такі параметри: величини Е.Р.С. E ₁ =24 В, E ₄ =36 В, E ₅ =6 В;

величина джерела струму J ₈= 0,3 А; опір резисторів (в Омах):

R ₁ = 10, R ₂ = 15, R ₃ = 20, R ₄ = 4, R ₅ = 5, R ₆ = 6, R ₇ = 7.

Потрібно: визначити струми у вітках за допомогою законів Кірхгофа.

Рисунок 1.1 – Схема електричного кола (а) та його граф (б)

Розв’язок проводимо у такій послідовності:

а) Зображуємо спрямований граф кола (рис.1.1.б). Граф має п’ять вершин - “ а, b, с, d, f ”; сім гілок. Дерево графа (жирні дуги 7–5–2–1) має 4 гілки; три хорди (дуги 3; 4 та 6). Отже за першим законом Кірхгофа треба скласти 4 рівняння, за другим – 3 рівняння.

б) Складаємо для вузлів (а; b; с; f) та для контурів (К1; К2; К3) відповідні рівняння за законами Кірхгофа:

         (1.1)

в) Розв'язок такої системи проведемо за допомогою пакета MathCAD.

Для цього можна застосувати матричну формулу, можливості вбудованої матричної алгебри, або оператори–функції Given – Find(x1,x2,…), Given – Minerr(x1,x2,…), та інші.

Наприклад, для розв’язку системи (3.1) матричними засобами спочатку побудуємо матрицю коефіцієнтів (Δ) при невідомих струмах та вектор–стовпець відомих параметрів (В) (вектор впливу).

Для побудови матриць та векторів можна скористуватись операцією Matrix пункт I nsert основного меню, або натиснути на піктограму із зображенням шаблона матриць на математичній панелі (M ath Palette), або комбінацією клавіш Ctrl+M. Це призведе до появи діалогового вікна, де треба вказати кількість строк (Rows:=7) та стовпців (Columns:=7) матриці (якщо оберемо Columns:=1 – отримаємо вектор–стовпець).

Порядковий номер елемента (його адресу) називають індексом. Нижню границю індексу задаємо значенням системної змінної ORIGIN:=1 (M ath – O ptions … – Array O rigin – 1).

Заповнюємо матрицю (Δ) та вектор (В) згідно із системою (3.1):

 

Розв’язок отримаємо за матричною формулою: І:=Δ^–1 ∙В,

або застосуємо вбудовану функцію

І:= lsolve(Δ,B).

Результат (струми в Амперах) отримаємо у вигляді вектор–стовпця [I]:

Тут результат І₁ відповідає струму гілки І ₁ електричного кола Рис.3.1; І₂ – І ₂; і так далі.

При застосуванні оператор–функцій Given – Find або Given – minerr  треба спочатку задати початкові значення для розрахунку, наприклад: І1:=1, І2:=1, І3:=1, І4:=1, І5:=1, І6:=1, І7:=1.

Далі у робочому полі наберемо систему рівнянь:

Звертаємо Вашу увагу на те, що між операторами Given – Find обов’язкове застосування саме знака " жирного рівняння " (Ctrl =, жирний знак ), а не знаків " присвоювання " (:=) або " дорівнює " (=). Результат розв’язку цієї системи занесемо у вектор "Струм".

Обов’язково також, щоб усі розрахунки мали відповідні пояснення. Наприклад, після запуску системи MathCAD

("Пуск – Программи – MathSoft Apps – MathCad 2000 Professional")

відкриємо текстове поле (" I nsert– T ext Region", або натиснути: Shift "); обираємо мову (можна одночасним натисканням клавіш "Shift Ctrl" один або два рази), бажаний шрифт, розмір, стиль напису (у позиції F o rmat основного меню); запишемо: Лабораторна робота №1 “Дослідження електричного кола постійного струму”; вийдемо у робоче поле; перейдемо на англійську мову.

Таким чином поступають кожний раз при поясненнях.

1.4.2 Метод вузлових потенціалів

1.4.2.1 Метод вузлових потенціалів полягає в тому, що із рівнянь, складених за першим законом Кірхгофа, визначають потенціали вузлів щодо базисного вузла, потенціал якого умовно дорівнює нулеві. Тому кількість вузлових рівнянь повинна бути на одиницю менше, ніж є кількість вузлів, що входять до складу дерева графа.

1.4.2.2 У загальному випадку система вузлових рівнянь має вигляд:

, 

де φ_k – потенціал k -го вузла;

G_kk   – сума провідності усіх гілок, що приєднані до k -го вузла;

G_kn   – сума провідності гілок, що безпосередньо з'єднують вузол k із вузлом n;

E_kk ∙G _kk – алгебраїчна сума добутків EPC гілок, що примикають до вузла k, на їхні провідності; при цьому зі знаком "плюс" беруться ті EPC, що спрямовані до вузла k, і зі знаком мінус – якщо від нього;

J_kk – алгебраїчна сума струмів джерел струму, приєднаних до вузла k; при цьому зі знаком "плюс" будуть ті струми, що спрямовані до вузла k, а зі знаком мінус – що спрямовані від вузла k.

1.4.2.3 Якщо коло має гілки з ідеальними джерелами ЕРС (без опорів), ці ЕРС із гілки з нульовим опором треба перенести через відповідний вузол в інші гілки, які приєднані до того ж вузлу і мають деякі значення опорів.

1.4.2.4 Потенціали вузлів визначаємо за матричною формулою

(або за функцією φ:= lsolve(G,E∙G+J)).

1.4.2.5 Струми гілок за законом Ома:      ,

де н – вузол дерева графа, з якого виходить хорда за номером n;

к – вузол дерева графа, де закінчується хорда за номером n;

n – номер гілки електричного кола, де знаходимо струм;

E_n, R_n  – ЕРС та опір гілки за номером n.

1.4.2.6 Наприклад, для кола, що зображене на Рис. 1.1 система вузлових рівнянь буде такою:

(1.2)

1.4.2.7 Розв’яжемо цю систему засобами MathCAD

Збудуємо вузлову матрицю (Y:= Ctrl+M Rows:=4 Columns:=4 OK) та заповнюємо її відповідно до системи (1.2):

 

Знайдена таким чином величина φ₁ відповідає потенціалу вузла а

(φ_а = –7,125 В), φ₂ – потенціалу вузла b (φ_b = –33,75 В),, і так далі.

1.4.3 Метод контурних струмів

1.4.3.1 Метод контурних струмів полягає в тому, що із рівнянь, складених за другим законом Кірхгофа, спочатку визначають допоміжні величини (так звані контурні струми). Власні струми кожної гілки кола знаходимо за принципом суперпозицій: як алгебраїчну суму контурних струмів, що проходять через вітку кола.

При розрахунку цим методом будемо вважати, що у кожному незалежному контурі тече свій контурний струм. Тому кількість незалежних рівнянь за методом контурних струмів дорівнює кількості незалежних контурів (гілок зв’язку спрямованого графа).

1.4.3.2 Для зручності запису системи рівнянь рекомендуємо усі контурні струми та струм від джерел струму спрямувати у одному напрямку, наприклад за обігом годинникової стрілки.

У загальному випадку система контурних рівнянь має вигляд:

     (1.3)

де: I_Кп - контурні струми;

R_пп - власний опір контуру (сума опорів усіх гілок, що входять у даний контур);

R_пk - суміжні опори контурів n і k; причому R_пk =R_kn;

Е_пп =E_k ± R_kJ∙J_k ∙– алгебраїчна сума ЕРС, що входять до складу контуру, та падінь напруги від джерела струму J_k. Знак "+" застосовуємо, коли обхід контуру не співпадає із обходом джерела струму J_k. Якщо обхід контуру співпадає із обходом J_k  – ставимо знак "–".

R_kJ - суміжний опір гілки контуру k, з контуром, що містить джерело струму J_k.

1.4.3.3 Приклад програми у середовищі MathCAD за методом контурних струмів для розрахунку струмів у колі Рис.3.1.

Обираємо обіг контурів К 1, К 2, К 3 (Рис.3.1.б) та контурних струмів у цих контурах (Ik₁; Ik₂; Ik₃) за обігом годинникової стрілки.

Струм джерела J₈ замикаємо через опори R₄  – R₅ теж за обігом годинникової стрілки.

Тут результат і1 відповідає струму першої гілки на Рис.1.1;

і2 – струму другої гілки на Рис.1.1; і так далі.