Основные понятия и определения. Физические свойства и параметры, характеризующие жидкость, достаточно полно изучаются в курсе физики

Физические свойства и параметры, характеризующие жидкость, достаточно полно изучаются в курсе физики. Поэтому в настоящем пособии рассматриваются лишь те из них, которые непосредственно связаны с явлениями и процессами, типичными для гидромеханики.

1.1 Плотность

Под плотностью физически бесконечно малого объема, понимают частное от деления его массы на объем, т.е.

(1.1)

Плотность выражается в кг/м3.

В литературе часто оперируют понятием удельного веса, т.е. частного от деления веса частицы на ее объем

(1.2)

Как следует из (1.2), удельный вес выражается в Н/м3. Заменяя в (1.2) его значением из (1.1), получаем связь между плотностью и удельным весом:

(1.3)

Примеры:

вода удельный вес

нефть

бензин

ртуть

воздух

1.2. Вязкость

Под вязкостью понимают свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению ее частиц (изменению формы = деформации).

Физической причиной вязкости является молекулярное взаимодействие. Вследствие различия в молекулярной структуре жидкостей и газов различна и природа их вязкостей.

В жидкостях вязкость есть проявление сил сцепления между молекулами.

В газах - результат взаимодействия, обусловленный хаотическим движением молекул.

Поэтому при повышении температуры в газах вязкость увеличивается за счет более интенсивного движения молекул. Наоборот, в жидкостях повышение температуры приводит к снижению вязкости, т.к. происходит увеличение среднего расстояния между молекулами.

Если жидкость находится в состоянии покоя, тоскорость, т.е. в покоящейся жидкости силы вязкости не проявляются. Это согласуется и с обычными житейскими представлениями. Действительно, для того, чтобы ответить на вопрос о том, является ли вязкой среда, налитая в сосуд, например, стакан, стоящий на столе, необходимо либо попытаться перелить ее в другой сосуд, либо, обмакнув в нее какой-то предмет, посмотреть как она стекает с него. Смысл этих действий в том, что мы интуитивно чувствуем, что требуется наблюдать движение этой среды.

1.3 Модели жидкой среды

Под моделью среды понимают такую гипотетическую среду, в которой учтены только некоторые из физических свойств, существенные для определенного круга явлений и технических задач.

Более полно свойства реальной жидкости учитываются в модели несжимаемой вязкой жидкости, которая представляет собой среду, обладающую текучестью и вязкостью, и абсолютно несжимаемую.

Теория вязкой несжимаемой жидкости лишь в ограниченном числе случаев с простейшими граничными условиями позволяет получить точные решения полных уравнений движения.

Идеальная жидкость – воображаемая (идеализированная) жидкость, в которой, в отличие от реальной жидкости, отсутствуют вязкость и теплопроводность. В идеальной жидкости отсутствует внутреннее трение, то есть, нет касательных напряжений между двумя соседними слоями.

Моделью идеальной жидкости пользуются при теоретическом рассмотрении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. В частности, такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемых гидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой.

Гипотеза сплошности – упрощенные модели, представляющими собой материальную среду, масса которой непрерывно распределена по объему, т.е. жидкость можно рассматривать как сплошную среду, лишенную молекул и межмолекулярных пространств.

Одной из важнейших особенностей механики жидкости является то, что в основу ее положена так называемая модель сплошной среды. Как известно, для описания среды, состоящей из большого числа молекул в сравнительно малом объеме (жидкости и газы) в физике широко используются два пути: феноменологический и статистический (иногда их называют корпускулярной и континуальной моделями). Феноменологический путь изучения основывается на простейших допущениях. Оставляя в стороне вопрос о строении вещества, он наделяет его такими свойствами, которые наилучшим образом устанавливают соответствие между наблюдаемыми явлениями и их описанием.

При таком подходе жидкости (газы) рассматриваются как непрерывная среда, способная делиться до бесконечности. Другими словами, жидкость (газ) представляется состоящими из достаточно малых частиц непрерывным образом заполняющих пространство. Эта среда обладает свойством инерции и наделена различными физическими свойствами. В соответствии с такой моделью все параметры жидкости (плотность, вязкость и др.) изменяются непрерывно от точки к точке, что позволяет при анализе движения среды применять математический аппарат дифференциального и интегрального исчислений, хорошо разработанный для непрерывных функций.

Следует твердо усвоить, что все законы механики жидкости справедливы до тех пор, пока справедлива модель сплошной среды.

1.4 Ньютоновские и Аномальные жидкости

Ньютоновская жидкость это все жидкости подчиняющиеся закону вязкости Ньютона.

К Неньютоновской жидкости относятся: литой бетон, глинистый раствор, употребляемый при бурении скважин, нефтепродукты при температуре близкой к замерзанию.

Движение неньютоновских жидкостей начинается тогда когда достигается определенное минимальное значение касательных напряжений (начальное напряжение сдвига) При меньших напряжениях эти жидкости не текут а испытывают упругие деформации.

В аномальных жидкостях касательное напряжение определяется по формуле Бингема

₀ начальное напряжение сдвига.

Таким образом сила трения в аномальных жидкостях возникает еще при покоящейся жидкости при стремлении к движению.

На рис представлена зависимость касательных напряжений от градиента скорости.

1 нормальные жидкости, 2 аномальные.

Реологические модели жидкостей

Реология (от греч.. ρέος, «течение, поток»и–логия) –раздел физики, изучающий деформации и текучесть вещества. Изучает поведение различных жидкостей под нагрузкой и их динамические свойства.

Классификация производится по зависимости вязких напряжений от скорости сдвига (градиента скорости)

где:

Ньютоновская жидкость – линейный закон:

Аномальная жидкость – нелинейная, закон степенной:

Псевдопластик:, при медленных движениях вязкость велика, затем убывает.

Дилатантная жидкость:, вязкость растёт с увеличением скорости.

Бингамовский пластик — модель Бингама подобна модели сухого трения:

Хорошим примером бингамовской жидкости является краска — за счёт действия связующих веществ возникает порог для напряжения сдвига, и она способна образовывать неподвижные слои на вертикальных поверхностях. Любые другие жидкости будут стекать вниз.

Отдельным случаем неньютоновских жидкостей являются тиксотропные и реопексные жидкости, вязкость которых изменяется с течением времени.

1.5Силы действующие в жидкости

Как и в механике твердого тела, в гидромеханике силы классифицируются по разным признакам: внутренние и внешние, сосредоточенные и распределенные.

Внешние силы, действующие на жидкий объем и определяющие его движение, разделяются на массовые (объемные) и поверхностные. К ним относятся силы тяжести и силы инерции.

Очевидно, что в механике жидкости могут рассматриваться лишь распределенные силы, не вызывающие деформации жидкого тела. При этом они должны быть внешними по отношению к объекту. Перевод внутренних сил в категорию внешних производится известным методом (метод сечений, либо метод «замораживания»), суть которого сводится к тому, что в среде выделяется («заморажи­вается») замкнутый объем, внешняя среда мысленно отбрасывается и ее действие заменяется действием распределенных сил.

Важнейшей особенностью гидромеханики как науки является то, что в ней, помимо приведенной выше классификации, силы разделяются на массовые и поверхностные.

1.5.1 Массовые силы

Массовыми называют силы, величина которых пропорциональна массе рассматриваемого объема. Важнейшей особенностью является то, что они действуют на все частицы жидкости. (Непрерывно распределены по объему). В общем случае это силы, подчиняющиеся второму закону Ньютона:

В проекциях на декартовы оси координат можно записать:

В гидромеханике вместо принято обозначать через. - Проекции ускорения на оси координат.

Поделив обе части записанных выражений на массу, получим:

1.5.2 Поверхностные силы

В отличие от массовых, поверхностные силы действуют лишь на частицы, находящиеся на поверхности жидкого объема.

Выделим на поверхности жидкого объема элементарную площадку, ориентация этой площадки в пространстве зада­ется внешней нормалью. Обозначим через поверхностную силу, приложенную к площадке.

Предел отношения:

называют напряжением поверхностной силы.

Таким образом, первое, что необходимо усвоить при рассмот­рении этого вопроса - это то, что под действием внешних сил в жидкости возникают напряжения. И второе по порядку, но не менее важное по существу. В общем случае не является обычным вектором. Его величина зависит от ориентации площадки в прост­ранстве. Это означает, что если через данную точку пространства провести одинаковые по величине, но различно ориентированные площадки, то действующие на них напряжения поверхностных сил будут различны.

Рис. 2.3

Физическая величина, характеризуемая в данной точке вектором, принимающим бесконечное множество значений в зависимости от ориентации площадки, называется тензором напряжений.

Таким образом, на площадку действует поверхностная сила, а на всю поверхность, ограничивающую объем

(2.8)

Проекция на направление нормали называется нормальным напряжением, а проекция на площадку действия – касательным напряжением.

1.5.3 Тензор напряжения

Для уяснения дальнейшего необходимо подробней рассмотреть вектор.

В движущейся среде мысленно выделим частицу в форме жидкого тетраэдра. Пусть –внешняя нормаль к четвертой (на­клонной) грани тетраэдра, а площадь этой грани (см. рис. 2.4).

Площади других граней – соответственно:, т.к. их можно рассматривать как проекции грани ABC на координатные оси. Следовательно:

где:

– направляющий косинус

аналогично:

Обозначим объем тетраэдра, тогда действующая на него массовая сила, а массовая сила инерции, где – вектор ускорения жидкого тетраэд­ра. Поверхностная сила, действующая на наклонную грань –.

Для трех других граней можем записать:

Знаки минус, т.к. векторы направлены в стороны, противоположные координатным осям.

Запишем уравнение движения тетраэдра, которое в соответ­ствии с общими законами механики должно иметь вид:

Массаускорение =(результирующая массовых сил)+(результирующая поверхностных сил)

Имеем:

Слагаемые и есть величины третьего порядка малости, а остальные - второго, поэтому ими можно пренебречь, что дает:

(2.9)

Из этого равенства следует, что напряжение при произвольной ориентации нормали может быть определено, если известны напряжения в той же точке для площадок, внешние нормали которых параллельны осям Ox, Oy и Oz.

Рис. 2.5

Проекции векторов, и на координатные оси x,y,z обозначаются:

Первый подстрочный индекс указывает ось, перпендикулярную ориентации площадки, второй ­ ось, на которую спроектировано напряжение.

Для уяснения ориентации рассмотрим параллелепипед, выделенный в движущейся жидкости и показанный на рис. 2.5.

Из рисунка, в частности, видно, что напряжения с одинаковыми индексами являются нормальными, а с разными - касательными. В проекциях на декартовы оси координат выражение (2.9) может быть записано как:

(2.9)

Совокупность этих девяти составляющих компонентов напряжения образует тензор напряжения. В матричной форме он записывается в следующем виде:

В тензорном анализе доказывается, что тензор напряжений является симметричным. Это означает, что величины, расположен­ные симметрично главной диагонали, равны Следовательно, для определения тензора напряжений достаточно знать не девять, а шесть скалярных величин.

Следует учесть одно обстоятельство. Векторы напряжений в соотношении (2.9), носящем имя Коши, и приложенные к координатным площадкам, не имеют объективного физического смысла, т.к. зависят от выбора системы координат. Поэтому такие величины причисляются к так называемым «квазивекторам», хотя к ним и можно применять все операции, применимые к физическим векторам.

К понятию тензора можно подойти и другим путем, который, возможно, покажется более простым. Поэтому целесообразно хотя бы кратко остановиться на нем. Для наглядности тензор можно представить как какой-то оператор, с помощью которого можно преобразовывать векторы в векторы. Упрощая и сводя математический аппарат к механическому, оператор можно представить как какую-то «машину», которая по определенным правилам перерабатывает вводимые в нее векторы. Зная принцип работы этой «машины», можем знать и вектор, который появляется на выходе. Можно записать:

где:

Существенное ограничение заключается в том, что оператор должен быть линейным. Определить тензор - это значит задать правила, по которым работает оператор.

И в заключение еще несколько замечаний. Выше уже отмечалось, что одно из фундаментальных свойств жидкости ­ ее вязкость ­ не проявляется, если она находится в состоянии равновесия, т.е. в этом случае касательные компоненты тензора равны нулю и действуют лишь нормальные, ориентированные по внешним нормалям (см. рис. 2.5). При этом ясно, что они являются растягивающими напряжениями. Как показывает опыт, в отличие от твердого тела, которое может воспринимать как растягивающие (положительные нормальные напряжения), так и сжимающие (отрицательные нормальные напряжения) напряжения без разрыва сплошности, жидкое тело способно воспринимать лишь сжимающие усилия. Можно показать, что при отсутствии касательных напряжений, из чего следует, что нормальные напряжения в данной точке не зависят от ориентации площадки. Величины, численно равные нормальным напряжениям, но взятые с противоположным знаком, в гидромеханике называют давлениями, либо более полно ­ гидростатическими давлениями. Гидростатическое давление обозначают буквой, т.е.

Таким образом, гидростатическое давление, являясь скалярной величиной (как компонента тензора) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Теоретическое изучение движения жидкости связано с так называемой моделью идеальной жидкости. В этой модели жидкость рассматривается как абсолютно несжимаемая среда, неспособная сопротивляться разрывающим усилиям и обладающая абсолютной подвижностью, т.е. лишенная вязкости. Последнее исключает возникновение в ней касательных напряжений.

1.5.4 Касательные напряжения

Для уяснения того, как проявляются силы вязкости, рассмотрим течение жидкости в круглой трубе. Будем считать, что векторы скоростей частиц параллельны оси x. Забегая вперед, отметим, что такое течение существует в природе и носит название ламинарного.

Пользуясь чисто интуитивными представлениями, установим вид распределения скоростей в поперечном сечении потока.

Рис. 2.1

Сразу же отметим, что графическое изображение распределения скоростей в поперечном сечении называют эпюрой скоростей (либо полем скоростей). Очевидно, что скорости частиц, находящихся на стенках трубы, равны нулю и возрастают по мере приближения к оси (на оси) как это показано на рис. 2.1.

Рассмотрим два слоя жидкости (a-a и b-b), расположенные на расстоянии dy. Пусть слой a-a движется со скоростью u, тогда, как следует из эпюры, слой b-b имеет скорость u+du. Таким образом, на верхней и нижней гранях прямоугольной жидкой частицы, расположенной между слоями, скорости различны, что в соответствии с законами механики должно привести к ее деформации. Заметим, что такое движение в гидромеханике называют простым сдвигом, либо течением чистого сдвига.

Взаимодействие молекул через этот элемент приводит к появлению касательной составляющей напряжения. Величина силы трения, возникающая между слоями движущейся жидкости, определяется по формуле, предложенной Ньютоном и подтвержденной многочисленными и тщательно поставленными опытами нашего соотечественника профессора Н.П.Петрова. Эта формула имеет вид:

(2.4)

где:

– площадь поверхности соприкасающихся слоев;

– динамическая вязкость, зависящая от физической природы жидкости, ее агрегатного состояния и температуры, и практически не зависящая от давления. Динамическая вязкость выражается в Пас.

В технических приложениях часто используется не динамическая, а кинематическая вязкость, представляющая собой отношение

(2.5)

Кинематическая вязкость выражается в м2/с. (или Стокс 1 м2/с=1*10⁴Ст)

Величина кинематической вязкости для воды в нормальных условиях можно принять 1*10⁶ м2/с

Величина характеризует темп изменения скорости. Иногда эту величину называют поперечным градиентом скорости.

Разделим правую и левую части (2.4) на S. Отношение есть не что иное, как касательное напряжение, т.е.

(2.6)

Таким образом, можно сказать, что вязкость жидкости - это способность ее оказывать сопротивление касательным напряжениям.

И, наконец, установим физический смысл поперечного градиента скорости, для чего рассмотрим жидкую частицу, показанную на рис. 2.2. Вследствие разности скоростей на верхней и нижней гранях, первоначально прямоугольная частица будет деформироваться и превращаться в параллелограмм.

Отрезок dl характеризует величину деформации за время dt, т.е., тогда:

Следовательно, поперечный градиент скорости представляет собой скорость относительной деформации сдвига. Таким образом, касательное напряжение в жидкости линейно зависит от скорости относительной деформации. В этом принципиальное отличие жидкости от твердого тела, в котором касательные напряжения зависят от величины деформации, а не от ее скорости.