Равномерно наилучшее решение

Допустим, что для каждого фиксированного найден . Значение , при котором достигается этот минимум, то есть байесово правило решения, вообще говоря, зависит от , так что при изменении минимизирующее значение является функ­ционалом (рис. 4.1) и

. (4.3.1)

Если окажется, что минимум для всех P достигается при одном и том же (рис. 4.2), то существует равномерно наилучшее решение, которое и является абсолютно оптимальным, а априорная неопределен­ность не является существенной. Само равномерно наилучшее решение может быть найдено с помощью обычной байесовой процедуры.

Рис. 4.1. Область оптимальных байесовых правил решений при различных P

Рис. 4.2. Равномерно наилучшее правило решения

Следует отметить, что если ввести произвольную меру на мно­жестве P (не обязательно имеющую вероятностный смысл) и проинте­грировать средний риск по этой мере, определив таким образом новый функционал решающего правила

, (4.3.2)

а затем найти значение , минимизирующее этот функционал, то при существовании равномерно наилучшего решения это значение совпа­дает с , то есть .

Это означает, что в случае существования равномерно наилучшего правила решения можно произвольно усреднять средний риск (в част­ности, при параметрической априорной неопределенности вводить для неизвестных параметров и распределений вероятности х и , в свою очередь, более или менее произвольные распределения вероятности) и искать минимум этого усредненного значения. Подобного рода усредне­ние во многих случаях может существенно упростить задачу в отноше­нии техники отыскания оптимального правила решения благодаря большей простоте усредненного выражения.