2014-02-04
462
Рассмотрим одномерный стационарный объект, описываемый уравнениями (8.8) и представленный в виде функциональной схемы рис. 8.2.
 |
Рисунок 8.2 – Функциональная схема автоматического управления одномерным стационарным объектом
Пусть передаточная функция УУ 
не задана. Необходимо найти её так, чтобы критерий качества (8.9) достиг минимального значения, а система в целом была физически осуществимой (аналогично устойчивой). Для этого будем полагать, что передаточная функция 
имеет нули и полюса только в левой полуплоскости*.
План решения задачи следующий: сначала свяжем критерий качества 
с передаточной функцией 
для замкнутой системы в целом; затем найдём такую физически осуществимую функцию , на которой критерий достигает минимума, после чего, воспользовавшись связью между и , , вычислим искомую функцию .
*Любую передаточную функцию можно представить в виде отношения полиномов 
. Если числитель прировнять к нулю и найти корни полинома, то эти корни называют полюсами, если найти корни для числителя, то они называются нулями. Чтобы система бала устойчивой необходимо, чтобы полюса и нули находились в левой полуплоскости. Зная полюса 
и нули 
, передаточную функцию можно записать в виде 
.
Запишем передаточную функцию для замкнутой системы. С учётом того, что 
, 
и 
(8.11), передаточная функция примет вид
. (8.16)
Из (8.16) определим искомую функцию 
.
; 
.
Откуда
. (8.17)
Из (8.17) видно, что для получения окончательного выражения передаточной функции управляющего устройства необходимо знать только передаточную функцию , при которой критерий качества (8.9) принимает минимальное значение. Для этого найдём связь между критерием и функцией . Так как 
, выразим 
, 
через функцию и, используя формулу Парсеваля (8.13), (8.14), запишем выражение для критерия качества.
Подставив (8.16) и (8.17) в выражение (8.11), получим
; (8.18)
.
Используем формулу Парсеваля (8.13), (8.14):
;
.
С учётом этих выражений критерий (8.9) примет вид
. (8.19)
Для минимизации критерия качества (8.19) возьмём частную производную от подынтегральной функции (8.19) по переменной и прировняем к нулю. В результате этого получается уравнение, подобное уравнению Эйлера.
На основании (8.19) можно сформулировать теорему оптимизации: для того, чтобы функционал (8.19) на функции , удовлетворяющей условиям физической осуществимости (полюса и нули функции находятся в левой полуплоскости), достигал экстремального значения, необходимо и достаточно, чтобы частная производная от подынтегральной функции (8.19) по 
имела только правые полюса.
Продифференцировав подынтегральную функцию (8.19) по , получим
, (8.20)
где 
- некоторая функция, имеющая правые полюса.
Чтобы (8.20) выполнялось при любых аргументах 
необходимо, чтобы сумма слагаемых слева, имеющих правые полюса, равнялась функции , а сумма слагаемых с левыми полюсами равнялась нулю. Разделим левую часть (8.20) на слагаемые с левыми и правыми полюсами.
;
. (8.21)
Далее введём новую функцию
, (8.22)
где функция 
имеет левые особые точки (полюса и нули), а 
- правые особые точки. Переход (8.22) называется факторизацией.
Подставив (8.22) в (8.21), получим
;
. (8.23)
Из (8.23) видно, что первое слагаемое слева имеет только левые особые точки, слагаемое справа – только правые особые точки, а вторе слагаемое слева – и левые, и правые особые точки.
Представим второе слагаемое слева 
в форме двух слагаемых, имеющих только левые (со знаком «+») и только правые (со знаком «-») особые точки.
. (8.24)
Такая операция называется расцеплением.
После проведения операции расщепления (8.24) выражение (8.23) принимает вид:
. (8.25)
Так как функция справа имеет только правые полюса, то равенство (8.25) справедливо, если сумма слагаемых слева, имеющих левые полюса, равна нулю. Таким образом,
,
откуда следует искомое выражение для передаточной функции замкнутой системы
, (8.26)
имеющее только левые полюса, т.е. соответствующее условию физической осуществимости системы.
Зная функцию , на основании (8.17) получаем выражение для искомой передаточной функции управляющего устройства .
