2014-02-04
840
Как и в случае динамического программирования, для простоты рассмотрим задачу о максимальном быстродействии для линейного объекта, описываемого уравнением состояния
; 
. (7.27)
В силу стационарности (линейности) уравнения (7.27) переменную 
со свойствами (6.3) можно не вводить. Нет также причин для введения переменной 
со свойствами (6.4), так как в задаче о максимальном быстродействии 
и не зависит от управления 
.
Запишем принцип максимума (6.22) через функцию Гамильтона (6.21) с учётом (7.27):
. (7.28)
Так как от управлений 
зависит только вторая группа слагаемых в составе (7.28), то принцип максимума приобретёт следующую форму:
. (7.29)
Это условие (7.29) должно выполняться для каждого управления 
, вследствие чего можно записать:
, . (7.30)
Условие (7.30) при существовании на управление ограничений 
выполняется, если 
при 
или 
при 
.
Отсюда следует, что
, , (7.31)
Таким образом, в задаче о максимальном быстродействии в случае применения принципа максимума, как и при динамическом программировании, оптимальное управление 
принимает два значения 
или 
в зависимости от функции 
(
- при динамическом программировании).
Как видно из (7.31) для отыскания конкретного управления необходимо знать компоненты 
, 
, вектора 
. С этой целью составляется система сопряжённых уравнений (6.26) с учётом линейности уравнения (7.27):
, 
. (7.32)
Здесь учтено, что 
.
Таким образом, функцию можно найти из системы однородных линейных уравнений, не зависящих от управления 
и состояния 
объекта управления.
Однако так как не задаётся ни начальное 
, ни конечное 
значения вектора , то такую систему решить нельзя. В этом случае начальное значение вектора выбирается произвольно. Из (7.32) находятся компоненты вектор и подставляются в выражение для оптимального управления (7.31). После вычисления управления 
его подставляют в уравнение состояния линейного объекта (7.27), откуда находят вектор состояния 
, обусловленный оптимальным управлением и начальным состоянием 
.
Если можно подобрать такое 
, при котором 
, то начальное значение оказалось верным, а найденное управление явилось оптимальным. Если 
, то выбирается другое начальное значение вектора . Последовательный поиск оптимального управления осуществляется с помощью ЭВМ.
В некоторых случаях найти оптимальное управление можно, не решая систему сопряжённых уравнений (7.32). Для этого воспользуемся уравнением состояния (7.27) при отсутствии управления
, . (7.33)
В векторной форме уравнения (7.32) и (7.33) примут вид
; 
.
В общем виде решение уравнения (7.32) можно представить, используя формулу Эйлера:
, , (7.34)
где 
- постоянные интегрирования;
- положительные корни характеристического уравнения, определяемые из сопряжённой системы
, (7.35)
где 
.
После подстановки в (7.35) имеем 
. После сокращения на множитель 
получаем характеристическое уравнение
, (7.36)
где 
– единичная матрица;
- комплексная переменная.
Определив корни характеристического уравнения и постоянные интегрирования , можно получить выражение оптимального управления :
, , (7.37)
где 
- некоторая константа.
Схематически изменение оптимального управления можно представить в виде графика (рис. 7.4), как и в случае динамического программирования, только здесь моменты времени переключения оптимального управления соответствуют корням характеристического уравнения .
 |
Рисунок 7.4 – График переключения оптимального управления
Из рис. 7.4 видно, что оптимальное управление является кусочно-постоянной функцией, имеющей на интервале управления не более 
точек разрыва, в которых оно переходит с одной границы области допустимых управлений на другую. Другими словами, оптимальное управление имеет не более 
интервалов постоянства, а число переключений управления не превышает . Это свойство называется теоремой об -интервалах (доказана Фельдбаумом).
Теорема об n-интервалах: если количество действительных корней характеристического уравнения объекта равно , то число переключений каждого из управлений 
, 
, …, не превышает 
